평행선이 무너진 뒤 — 공준에서 휘어진 시공간까지

평행선은 아직 ‘정확히 하나’가 아니었다 — 유클리드의 원문

《원론》의 다섯째 공준은 한 직선이 두 직선을 가로지를 때 같은 쪽 안각의 합이 두 직각보다 작으면 그 두 직선이 그쪽에서 만난다는 긴 문장이다. 오늘 교과서의 ‘직선 밖 한 점을 지나는 평행선은 정확히 하나’는 Playfair 공리라는 동치 표현이지 유클리드의 원문이 아니다. 다른 공준보다 복잡해 보인다는 불편이 이후 수많은 증명 시도를 낳았지만, 유클리드가 비유클리드 기하를 숨겨 두었다고 소급할 수는 없다.

증명하려다 다른 가정을 드러내다 — 하이얌의 사변형

오마르 하이얌은 유클리드의 평행선 이론을 설명하는 논고에서 밑변에 수직인 두 같은 변을 세운 사변형을 분석하고, 더 자명하다고 본 가정들로 다섯째 공준을 재구성하려 했다. 뒤의 Saccheri 사변형과 닮은 구조가 대안 가정의 결과를 오래 계산하게 만들었다. 논고는 1077년 12월 완성됐지만 필사본의 도시명이 결락되어 이스파한 핀은 셀주크 궁정·관측 활동망을 가리킬 뿐 정확한 집필실은 아니다.

평행선 문제를 천문·기하 연구망 안에 남기다 — 알투시

나시르 앗딘 알투시는 하이얌 계열의 논의를 이어 평행선 공준을 증명하려 했고, 삼각형의 각합이 두 직각보다 작아지는 가정에서 나오는 성질까지 다뤘다. 1259년 무렵 세워진 마라게 천문대는 그가 여러 지역 학자와 기하·천문 모형을 비교할 제도적 기반을 보여 준다. 평행선 논고의 정확한 집필 시점·방을 천문대 개원과 같게 만들거나, 이 작업을 완성된 쌍곡기하의 발명으로 부르지는 않는다.

공준을 부정해 모순을 찾다 — 사케리의 뜻밖의 결과

예수회 수학자 조반니 사케리는 밀라노에서 출판한 《Euclides ab Omni Naevo Vindicatus》에서 다섯째 공준의 대안을 가정하고 모순으로 몰아 유클리드를 ‘흠 없이’ 만들려 했다. 그는 둔각 가정을 배제하고 예각 가정 아래 훗날 쌍곡기하의 정리가 되는 결과를 여러 개 얻었지만 마지막 모순 주장은 유클리드적 직관을 다시 끌어들였다. 의도는 비유클리드 기하의 창설이 아니었어도, 부정한 가정을 오래 밀어붙이는 계산이 새 구조를 드러냈다.

평행선이 여러 개인 세계를 공개하다 — 로바체프스키

니콜라이 로바체프스키는 1826년 카잔 대학에서 새 기하를 발표한 뒤 1829~1830년 《카잔 메신저》에 첫 논문을 실었다. 한 점에서 주어진 직선과 만나지 않는 선의 경계가 두 방향으로 갈라지는 기하를 삼각법까지 갖춘 체계로 전개했다. 러시아어 지역 간행물 탓에 처음에는 널리 읽히지 않았지만, ‘평행선이 무수히 많다’는 구호보다 공리에서 일관된 계산을 공개했다는 변화가 핵심이다.

아무것도 아닌 것에서 새 세계를 만들다 — 보여이의 Appendix

야노시 보여이는 아버지 퍼르커시의 《Tentamen》에 붙인 라틴어 Appendix를 1832년 마로슈바샤르헤이에서 출판해 평행선 공준에 의존하지 않는 ‘절대기하’와 쌍곡적 경우를 전개했다. 로바체프스키의 논문을 알지 못한 독립 작업이었고, 가우스가 자신도 오래 생각했다고 답한 일은 보여이에게 깊은 좌절을 주었다. 두 공개 체계를 하나의 경쟁 순위로 만들기보다 서로 다른 주변 출판망이 같은 논리적 가능성에 닿은 장면으로 본다.

평면 하나가 아니라 가능한 공간 전체를 묻다 — 리만의 강연

리만은 괴팅겐 교수자격 강연에서 공간의 차원, 길이를 재는 계량, 점마다 달라질 수 있는 곡률을 묻는 일반 틀을 제시했다. 기하의 성질이 직관만으로 주어지는지, 물리적 공간에서는 경험이 어떤 역할을 하는지도 분리해 물었다. 1854년 강연 원고가 널리 출판된 것은 1868년 사후였고, 오늘의 리만 다양체 정의와 일반상대론이 그날 한 번에 완성된 것은 아니다.

낯선 기하를 익숙한 표면 안에 만들다 — 벨트라미의 모형

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에우제니오 벨트라미는 나폴리 수학 학술지에 낸 논문에서 일정한 음의 곡률을 가진 표면과 사영적 표현으로 쌍곡기하의 명제를 유클리드 기하 안에서 해석했다. 유클리드 기하가 일관되다면 이 모형이 나타내는 비유클리드 기하도 함께 일관된다는 상대적 무모순성의 길이 열렸다. 첫 pseudosphere 모형은 전체 쌍곡평면을 덮지 않으므로 한 장의 굽은 나팔이 모든 문제를 끝냈다고 말하지 않는다.

기하를 모양이 아니라 변환의 불변량으로 비교하다 — 클라인

펠릭스 클라인은 1871년 비유클리드 모형 연구에 이어 1872년 에를랑겐 취임 강연에서 각 기하를 특정 변환군 아래 변하지 않는 성질의 연구로 비교하는 프로그램을 제시했다. 유클리드·사영·비유클리드 기하가 서로 배제하는 세계관만이 아니라 어떤 변환을 허용하느냐에 따른 구조로 보이기 시작했다. 이 강연 하나가 모든 현대 기하를 완성했거나 서로 다른 곡률의 차이를 지웠다는 뜻은 아니다.

쌍곡평면을 함수가 사는 작업실로 쓰다 — 푸앵카레

푸앵카레는 1881년 파리 과학아카데미 보고와 논문들에서 Fuchsian 함수와 군을 연구하며 원판과 반평면 안의 쌍곡기하를 실제 계산 언어로 사용했다. 비유클리드 기하는 공준 논쟁의 기묘한 가능성에서 복소해석·미분방정식과 연결되는 생산적 도구로 이동했다. 원판 모형의 모든 요소를 한순간 혼자 발명했다고 말하지 않고 벨트라미·클라인·슈바르츠와 서신 논쟁의 선행을 함께 본다.

공간과 시간을 하나의 기하로 놓다 — 민코프스키의 강연

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민코프스키는 쾰른의 자연과학자 회의에서 특수상대론을 공간 세 축과 시간 한 축이 결합된 4차원 시공간으로 제시했다. 관찰자마다 시간과 공간의 분해는 달라도 시공간 간격과 빛원뿔 구조는 보존된다는 그림이 물리 법칙을 기하적으로 읽게 했다. 이 시공간은 평평한 의사유클리드 기하이며, 물질에 따라 곡률이 생기는 일반상대론이나 ‘시간도 보통 공간과 완전히 같다’는 주장은 아니다.

중력의 물리를 곡률의 언어와 맞추다 — 아인슈타인과 그로스만

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취리히에서 아인슈타인은 중력을 가속과 연결한 물리적 직관을, 수학자 마르셀 그로스만은 리만·리치·레비치비타의 텐서와 곡률 도구를 가져와 1913년 Entwurf 이론을 함께 발표했다. 수학을 나중에 장식처럼 붙인 것이 아니라 물리 원리와 가능한 식을 서로 시험한 협업이었다. Entwurf 장방정식은 일반 공변성을 제한한 잘못된 초안이었고, 최종 일반상대론과 같다고 말할 수 없다.

물질과 시공간 기하를 한 식에 놓다 — 11월의 장방정식

아인슈타인은 베를린 프로이센 학술원에서 1915년 11월 네 차례에 걸쳐 중력 이론을 고쳐 갔고, 25일 논문에서 오늘 쓰는 장방정식의 형태에 도달했다. 한쪽의 물질·에너지와 다른 쪽의 시공간 곡률을 연결해 자유낙하를 휘어진 시공간의 경로로 읽게 했다. 리만·리치·레비치비타·그로스만과 동시기 힐베르트의 작업을 지운 단독 번개 발명도, 우주의 전체 공간 곡률을 하나로 확정한 선언도 아니다.

휘어진 길을 별빛으로 재다 — 1919년 일식

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에딩턴과 코팅엄은 프린시페 로사 순디에서 개기일식 동안 태양 가까이 보이는 별을 촬영했고, Sobral 원정대의 plate와 함께 평상시 별 위치와 비교했다. 쓸 수 있던 프린시페 plate는 두 장뿐이었지만 종합 결과는 뉴턴식 값보다 아인슈타인의 빛 휨 예측을 지지하며 이론을 세계적 뉴스로 만들었다. 당시 오차와 장비 선택 논쟁을 숨기지 않으며, 한 일식이 일반상대론의 모든 예측을 최종 증명했다고 말하지 않는다.