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증명은 진리와 같은가?

러셀의 역설을 직접 따라가고 다섯 역사 장면의 근거를 살펴본 뒤, 증명과 진리에 대한 첫 판단을 다시 검토합니다.

  1. 먼저 판단하기
  2. 역설 직접 확인하기
  3. 다섯 역사 장면 탐험하기
  4. 처음 판단 다시 보기
  5. 교차로 항해 완료

먼저 판단하기

  1. 참인 명제는 언젠가 증명할 수 있다.
  2. 증명할 수 있는 명제만 참이라고 부를 수 있다.
  3. 충분한 공리와 규칙이 있으면 모든 수학적 질문을 결정할 수 있다.
이 세 문장이 같은 주장처럼 보이나요?

이 판단은 이 기기에만 저장됩니다.

역설 직접 확인하기

자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합의 집합 R은 자기 자신을 포함할까요?

무제한 집합 구성을 가정하고 R={x | x∉x}로 두면 R∈R인 경우와 R∉R인 경우 모두 반대 결론이 따라 모순이 된다.

R ∈ R

R∈R이라고 가정하면, R의 정의에 따라 R∉R이어야 합니다.

R ∉ R

R∉R이라고 가정하면, R의 정의에 따라 R∈R이어야 합니다.

두 가정 모두 반대 결론으로 이어집니다. 이제 이 모순이 증명과 진리에 관한 질문을 어떻게 바꾸었는지 따라가 봅니다.

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  1. Russell's Paradox

    Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

    Section 1, unrestricted comprehension, definition of R, and the two-case derivation

다음 단계로 가려면 이 단계의 모든 장면을 먼저 확인하세요.

다섯 역사 장면 탐험하기

  1. 11879년논리를 형식으로 쓰다

    고틀로프 프레게

    프레게가 예나에서 재직하던 1879년, 『Begriffsschrift』는 할레의 Louis Nebert에서 출판되었다.

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    1. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens

      Gottlob Frege · 1879 · Halle a/S: Louis Nebert, 1879, first edition · 원전 · de

      title page and imprint

    2. Gottlob Frege

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Bibliography, 1879 Begriffsschrift entry

    이 저작은 양화와 함수-논항 분석을 형식화해 현대 술어 논리의 토대를 놓았다.

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    1. Gottlob Frege

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Logic and philosophy of language sections

    1. 『Begriffsschrift』가 할레에서 출판되다

      1879년

    2. 프레게가 예나에서 재직하다

      1879년 당시

      • 예나 · 강의·재직 · 위치 근거: 높음

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        1. Gottlob Frege

          Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

          Life and academic career at Jena

    형식으로 명확히 쓸 수 있다는 것과, 그 형식 안에서 모든 것을 해결할 수 있다는 것은 같은 말일까요?

  2. 21901–1902년한 역설과 한 통의 편지

    버트런드 러셀 · 러셀의 역설

    러셀은 1901년경 역설을 발견했고 1902년 6월 16일자 편지로 프레게에게 알렸다.

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    1. The Russell–Frege Correspondence

      Bertrand Russell and Gottlob Frege · 1902 · Critical correspondence excerpt, Cambridge University Press · 비판본 · de

      Russell to Frege, 16 June 1902

    2. Russell's Paradox

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      History, discovery and correspondence paragraphs

    그 역설은 『Grundgesetze』 2권이 인쇄 중일 때 프레게의 기본법칙 V와 연결된 모순을 드러냈다.

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    1. Russell's Paradox

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Significance for Frege and Basic Law V

    1. 러셀이 역설을 발견하다

      1901년경

      • 케임브리지 · 발견 · 위치 근거: 높음

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        1. Russell's Paradox

          Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

          History of the 1901 discovery

    2. 러셀이 프레게에게 편지를 보내다

      1902년 6월 16일

      • 케임브리지 · 서신 발신 · 위치 근거: 높음

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        1. The Russell–Frege Correspondence

          Bertrand Russell and Gottlob Frege · 1902 · Critical correspondence excerpt, Cambridge University Press · 비판본 · de

          Russell to Frege, 16 June 1902

      • 예나 · 서신 수신 · 위치 근거: 높음

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        1. The Russell–Frege Correspondence

          Bertrand Russell and Gottlob Frege · 1902 · Critical correspondence excerpt, Cambridge University Press · 비판본 · de

          Frege to Russell, 22 June 1902

    모순이 발견되었을 때, 우리는 체계를 버려야 할까요, 아니면 체계를 더 엄격하게 고쳐야 할까요?

  3. 31920년대증명을 다시 묻는 프로그램

    힐베르트

    힐베르트는 1920년대 초 프로그램을 정식화하고 동료들과 함께 그 기간 내내 증명론을 발전시켰다.

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    1. Hilbert's Program

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Historical development of Hilbert’s program

    1. 힐베르트와 동료들이 증명론을 발전시키다

      1920년대

      • 괴팅겐 · 강의·재직 · 위치 근거: 높음

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        1. Hilbert's Program

          Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

          1917–1920s development at Göttingen

    수학의 안전성을 수학적 방법으로 확인하려면 무엇을 명시해야 할까요?

  4. 41930–1931년형식 체계의 경계를 밝히다

    괴델 · 불완전성 정리

    괴델은 1930년 9월 7일 쾨니히스베르크에서 첫 불완전성 결과를 비공식적으로 알렸고, 논문은 1931년에 출판되었다.

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    1. Gödel's Incompleteness Theorems

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      History, 7 September 1930 announcement and January 1931 publication

    2. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I

      Kurt Gödel · 1931 · Monatshefte für Mathematik und Physik 38, 173–198 · 원전 · de

      journal metadata, volume 38, pages 173–198

    정리는 일관성 등 명시된 가정 아래 산술을 표현할 만큼 강한 효과적으로 공리화된 형식 체계에 적용된다.

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    1. Gödel's Incompleteness Theorems

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      First and second incompleteness theorem statements

    1. 괴델이 첫 불완전성 결과를 알리다

      1930년 9월 7일

      • 쾨니히스베르크 · 발표 · 위치 근거: 높음

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        1. Gödel's Incompleteness Theorems

          Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

          7 September 1930 Königsberg discussion

    2. 불완전성 논문이 출판되다

      1931년

      • 비엔나 · 강의·재직 · 위치 근거: 중간

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        1. Kurt Gödel: Life, Work, and Legacy

          Institute for Advanced Study · 기관 기록 · en

          Vienna career before emigration

    정리의 조건과 범위를 지키면, 증명되지 않음에 대해 어디까지 말할 수 있을까요?

  5. 51933년 이후진리를 말하는 언어를 구분하다

    알프레드 타르스키

    연역 언어의 진리에 관한 타르스키의 폴란드어 저작은 1933년 바르샤바에서 나왔고, 확장된 독일어판은 1935년에 뒤따랐다.

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    1. Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych

      Alfred Tarski · 1933 · Warsaw: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1933 · 원전 · pl

      catalog record and title page

    2. Tarski's Truth Definitions

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      1933 program and bibliography

    그 저작의 영어 번역은 1956년에 나왔으며, 타르스키의 1944년 논문은 별개의 출판물이다.

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    1. Tarski's Truth Definitions

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Bibliography and publication history

    Convention T는 물질적 적합성 조건이며, 눈에 관한 하나의 양조건문은 그 사례이지 정의 전체가 아니다.

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    1. Tarski's Truth Definitions

      Stanford Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      Material adequacy and Convention T

    2. The Semantic Theory of Truth

      Internet Encyclopedia of Philosophy · 학술 백과사전 · en

      T-schema and semantic theory sections

    1. 타르스키의 폴란드어 진리 저작이 출판되다

      1933년

      • 바르샤바 · 출판 · 위치 근거: 높음

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        1. Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych

          Alfred Tarski · 1933 · Warsaw: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1933 · 원전 · pl

          catalog record and Warsaw imprint

    어떤 언어의 진리를 설명하려면, 그 언어 밖에서 무엇을 구분해야 할까요?

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처음 판단 다시 보기

처음의 세 문장을 다시 보세요. 지금은 같은 주장처럼 보이나요?

입장이 바뀌어야 할 필요는 없습니다. 처음보다 어떤 조건과 근거를 구분하게 되었는지 살펴보세요.

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교차로 항해 완료

역설의 두 경우와 다섯 역사 장면을 따라가며, 증명·결정 가능성·진리가 언제 같은 말이 아니게 되는지 살펴봤습니다.

여기서 항해를 마치거나 수학 홈으로 돌아갈 수 있습니다.

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