개념
"길이"와 "넓이"가 무엇인가에 대한 답. 19세기 말 리만 적분의 한계를 넘어, 르베그가 만든 새로운 적분이 확률론·푸리에 해석·양자역학의 토대가 되었다.
한 호흡으로 이해하기
리만 적분이 주로 x축의 구간을 잘게 나누는 데서 출발한다면, 르베그 적분은 같은 함숫값을 갖는 점들의 집합을 묶고 그 집합의 크기인 측도로 합산한다. 이 방법은 리만 적분보다 더 넓은 부류의 측정가능 함수를 다루지만, 모든 함수가 측정 가능하거나 유한한 적분값을 갖는 것은 아니다. 측도론은 현대 확률론·푸리에 해석·함수해석학의 공통 언어다.
한눈에 보기
리만 적분 | 르베그 적분 | 비고 |
|---|---|---|
x축을 잘게 쪼갬 | y축(함숫값)을 잘게 쪼갬 | 발상의 전환 |
연속 함수에 강함 | 더 넓은 측정가능 함수 | 적분가능 조건은 필요 |
디리클레 함수 적분 불가 | 적분 = 0 (르베그 측도) | 르베그 우위 |
극한과 적분 교환 조건이 제한적 | 지배 수렴 정리 등 명확한 조건 | 조건 아래 교환 |
일반 확률공간 표현이 어려움 | 확률측도의 전체 크기 = 1 | 콜모고로프 공리계 |
ℝⁿ에 한정 | 임의의 측도 공간 | 함수해석학·동역학·정보 이론 |
르베그 적분은 x축만 잘게 자르는 대신, 같은 함숫값을 갖는 점들을 묶어 그 집합의 크기로 합산한다.
핵심 식
르베그 적분 — 같은 함숫값을 갖는 집합의 크기로 합산
핵심 순간
리만 적분 — 대단한 발걸음
리만이 적분을 수직 막대의 합으로 엄밀히 정의. 그러나 너무 거친 함수에서는 작동하지 않음.
르베그 — 박사 논문 적분, 길이, 면적
앙리 르베그가 수평 자르기로 적분을 재정의. 리만 적분이 다루지 못하는 함수까지 적분 가능해짐.
콜모고로프 — 확률의 측도론적 토대
르베그 측도론을 사용해 확률을 공리적으로 정립. 현대 확률론의 출발.
오늘날의 응용
확률론(σ-대수와 확률 측도), 푸리에 해석학, 양자역학의 힐베르트 공간, 머신러닝의 기댓값 정의.
MathVoyage 너머로
불러오는 중…