정수론 · 개념 허브

디오판투스 방정식

Diophantine Equations

AD 2503세기 알렉산드리아 (디오판투스)

개념

정수해만 찾는 방정식. 페르마의 마지막 정리(x^n+y^n=z^n)도 그중 하나. 1970년 마티야세비치가 일반 디오판투스 방정식 풀이는 결정 불가능임을 증명 — 힐베르트 10번 문제 해결.

한 호흡으로 이해하기

"실수 해는 쉬워도 정수 해는 극도로 어렵다." x²+y²=z² (피타고라스 수)는 무한히 많지만, x³+y³=z³은 자명한 해 외엔 없다(페르마 1637, 와일즈 1995로 증명). 작은 차수 변경이 전혀 다른 세계를 만든다.

한눈에 보기

방정식

실수해

정수해

결정 가능?

ax + by = c

무한

무한 (gcd(a,b) | c일 때)

✓ 유클리드 알고리즘

x² + y² = z² (피타고라스)

무한

무한 — (3,4,5), (5,12,13)…

✓ 모두 매개변수화

x³ + y³ = z³ (FLT n=3)

무한

0 (자명한 것 외)

✓ 오일러 1770

xⁿ + yⁿ = zⁿ, n ≥ 3

무한

0

✓ 와일즈 1995

일반 다항 방정식의 정수해

항상 결정 가능

결정 불가능

✗ Hilbert 10번 (Matiyasevich 1970)

디오판투스 방정식은 2300년의 정수론 핵심 — 유클리드부터 와일즈까지. 일반 알고리즘은 존재할 수 없다는 사실이 가장 충격적.

핵심 식

find x,y∈Z:  ax+by=corxn+yn=zn\text{find } x, y \in \mathbb{Z}: \; ax + by = c \quad \text{or} \quad x^n + y^n = z^n

정수해 찾기 — 단순해 보여도 결정 불가능

오늘날의 응용

암호학(타원곡선), 부정방정식 SAT, 정수 프로그래밍.

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