개념
시계의 산술 — 12를 넘으면 다시 1로 돌아오는. 가우스가 19세기 초 형식화한 후 정수론·암호학의 기본 언어가 되었다.
한 호흡으로 이해하기
정수를 어떤 수로 나눈 나머지가 같으면 같은 부류로 본다. 시계 계산, 달력, 체크섬과 정수론에 자연스럽게 나타나며 가우스가 1801년 합동 표기와 이론을 체계화했다. RSA·디피-헬먼 등 일부 암호는 모듈러 산술을 핵심으로 쓰지만, 해시·오류정정·인터넷 보안 전체에는 다른 대수와 프로토콜도 필요하다.
한눈에 보기
× | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
mod 7 곱셈표 — 0이 아닌 모든 행에 1이 정확히 한 번 (7이 소수인 결과).
핵심 식
시계 산수: 14 ≡ 2 (mod 12)
풀이 예제
- 1
Q.7시 + 8시간 = ?
- 2
Q.3 × 5 (mod 7)
핵심 순간
BC 300
《원론》 — 합동의 전조
유클리드가 GCD 알고리즘을 이미 사용. 모듈러 산술의 도구는 있었지만 형식은 없었다.
AD 1801
가우스 — 《산술 연구》
24세 가우스가 합동(≡) 기호를 도입하고 모듈러 산술의 일반 이론을 정립. 정수론을 한 차원 올림.
AD 1640
페르마의 작은 정리
"a^p ≡ a (mod p) for prime p" — 300년 후 RSA 암호의 핵심 도구가 됨.
AD 1977
RSA — 공개키 암호의 한 축
리베스트·샤미르·아델만이 모듈러 거듭제곱과 큰 정수의 인수분해 난이도를 이용한 공개키 방식을 발표했다. RSA는 널리 쓰였지만 HTTPS는 타원곡선 방식·대칭키·해시·인증서 등 여러 층에 의존한다.
오늘날의 응용
RSA·디피-헬먼·타원곡선 암호, 해시 함수, 체크섬(주민번호 마지막 자리), 음악 이론(12음 평균율).
MathVoyage 너머로
불러오는 중…