정수론 · 개념 허브

연분수

Continued Fractions

AD 1572르네상스 이탈리아 (봄벨리)

개념

실수를 분수의 분수의 분수…로 표현. 황금비는 [1;1,1,1,...], π는 [3;7,15,1,292,...]. 무리수의 최선의 유리 근사가 자연스럽게 나온다.

"하나의 정수와, 나머지의 역수로 다시 표현." π ≈ 3 + 1/(7 + 1/(15 + ...)) → 3, 22/7, 333/106, 355/113 — 한 단계마다 더 정확한 근사. 22/7이 π의 근사임은 우연이 아니다.

실수	연분수 표기	주요 근사	특이성
√2 ≈ 1.4142	[1; 2, 2, 2, …]	7/5, 17/12, 41/29, 99/70	주기적
φ (황금비) ≈ 1.618	[1; 1, 1, 1, …]	피보나치 비	가장 무리수적인 수
π ≈ 3.1416	[3; 7, 15, 1, 292, …]	22/7, 333/106, 355/113	매우 불규칙
e ≈ 2.7183	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …]	특정 패턴 (1, 2k, 1)	규칙성 있음
√n (정수)	항상 주기적	라그랑주 1770	펠 방정식과 연결

무리수의 최선의 유리 근사는 연분수에서 자연스럽게 나온다. π = 22/7가 유명한 건 우연이 아니다 — 그게 작은 분모로 가장 정확한 근사.

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}}

[a₀; a₁, a₂, a₃, …]

음악 조율(피타고라스 vs 평균율), 천문 달력 보정, 무리수 측정.

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