2np+q
정수론 · 개념 허브

골드바흐 추측

Goldbach Conjecture

AD 174218세기 러시아 (골드바흐의 편지)

개념

4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능하다. 1742년 골드바흐가 오일러에게 보낸 편지 한 줄이 280년 미해결 문제가 됐다. 4×10¹⁸까지 컴퓨터로 검증됐지만 증명은 없다.

한 호흡으로 이해하기

"가장 단순해 보이는 추측이 가장 오래 풀리지 않는다." 4=2+2, 6=3+3, 100=3+97=11+89=…, 10⁸=…. 컴퓨터로 4×10¹⁸까지 반례 없음 확인. 그러나 모든 짝수에 대해 증명한 사람은 없다. 2013년 모든 홀수 ≥ 7은 세 소수의 합 (약한 골드바흐)이 헬프곳에 의해 증명됐다 — 비노그라도프(1937)가 충분히 큰 홀수에 대해 증명한 뒤 76년 만의 완결.

한눈에 보기

짝수 n

소수 합으로 표현 수

예시

4

1

2 + 2

10

2

3 + 7, 5 + 5

100

6

3 + 97, 11 + 89, 17 + 83, 29 + 71, 41 + 59, 47 + 53

1,000

28

3 + 997, 11 + 989, …

10,000

127

많아질수록 표현 방법은 폭발적으로 증가

4 × 10¹⁸

확인된 최대값

반례 0 — 컴퓨터로 모두 확인

표현 방식이 너무 많아져서 0이 되는 것은 불가능해 보인다. 그러나 모든 n에 대해 증명은 없다 — 280년 미해결.

핵심 식

∀n∈2Z,  n≥4:  ∃ p,q prime:  n=p+q\forall n \in 2\mathbb{Z},\; n \geq 4: \;\exists\, p, q \text{ prime}: \; n = p + q

4 이상의 짝수 = 소수 + 소수

오늘날의 응용

소수 분포 연구의 검증대, 해석적 수론.

MathVoyage 너머로

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