정수론 · 개념 허브깊이 읽기

페르마의 마지막 정리

Fermat's Last Theorem

AD 163717세기 프랑스 (페르마)

개념

"x^n + y^n = z^n은 n>2인 정수해를 갖지 않는다." 1637년 여백 메모에서 시작해 357년 후 와일즈가 증명한 수학사 최대의 드라마.

한 호흡으로 이해하기

"x²+y²=z²에는 무한히 많은 정수해가 있지만, n≥3에서는 하나도 없다." 페르마의 여백 메모는 사후 1670년 판본으로 알려졌다. 와일스는 1986년부터 약 7년간 연구를 비공개로 집중했고 1993년 결과를 발표했다. 발견된 틈은 Richard Taylor와 함께 고쳐 1994년 완성했으며, 두 논문은 1995년 Annals of Mathematics에 출판됐다.

한눈에 보기

연도	인물	진전
1637	페르마	책 여백에 추측 (Diophantus 사본)
1770	오일러	n = 3 증명 (그러나 결함 발견됨)
1825	디리클레·르장드르	n = 5
1839	Lamé	n = 7 (게르맹 정리 사용)
1908	Wolfskehl 상금	100,000마르크 상금 — 수많은 거짓 증명 유도
1955	타니야마·시무라 추측	모든 타원곡선이 모듈러임을 추측
1982	Frey	FLT 반례 ⇒ 비모듈러 타원곡선 추측 제시
1986	Ribet	ε-추측 증명 → FLT ⇔ 타니야마–시무라 다리 완성
1993 발표 / 1994 수정 / 1995 출판	Andrew Wiles (+ Richard Taylor)	비공개 집중 연구 뒤 두 논문으로 완성

가장 단순해 보이는 명제가 358년 만에 풀렸다 — 그것도 전혀 다른 분야(타원곡선·모듈러 형식)에서 왔다.

핵심 식

x^n + y^n = z^n,\;\; n > 2 \;\Longrightarrow\; \text{no positive integer solution}

n=2 외엔 정수해 없음

풀이 예제

1
Q.n=2: 3² + 4² = ?
2
Q.n=3: x³ + y³ = z³ 정수해?

핵심 순간

AD 1637

여백의 메모

페르마의 증명 주장은 원본이 아니라 아들이 1670년 출판한 《Arithmetica》 판본을 통해 알려졌다. 실제 증명은 발견되지 않았다.

AD 1770

오일러 — n=3 증명

오일러가 무한강하법으로 n=3 경우 증명. 일반 증명은 그조차 풀지 못함.

AD 1908

볼프스켈 상금 10만 마르크

파울 볼프스켈의 유언으로 상금이 설정됐다. 자살을 단념한 밤의 일화는 널리 전하지만 자료에 따라 세부가 달라 확정 전기로 보기는 어렵다.

AD 1994

와일스·테일러 — 틈을 고치다

1993년 발표 원고의 틈을 Richard Taylor와 함께 수정했다. 두 논문은 1995년 출판돼 페르마의 마지막 정리를 확립했다.

오늘날의 응용

특정 지수의 연구는 대수적 정수론을 자극했고, 최종 증명은 타원곡선·갈루아 표현·모듈러 형식의 깊은 연결을 사용했다. 문제 하나보다 그 주변에서 성장한 방법들이 더 큰 유산이다.

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