개념
여러 변수의 함수를 미분·적분. 편미분, 그라디언트, 야코비, 다중적분 — 머신러닝 손실함수, 물리 장이론, 경제 효용함수의 언어.
한 호흡으로 이해하기
"한 변수만 변할 때 다른 변수는 고정." 산의 한 점에서 동→서 기울기와 남→북 기울기가 따로 있고, 둘을 합치면 가장 가파른 오르막 방향이 나온다.
한눈에 보기
연산 | 입력 → 출력 | 직관 | 예 |
|---|---|---|---|
∂f/∂x | 스칼라장 → 스칼라 | y 고정, x만 변화 | 온도장의 동→서 기울기 |
∇f (gradient) | 스칼라장 → 벡터장 | 가장 가파른 오르막 방향 | 머신러닝 손실 감소 방향 |
Jacobian Jᵢⱼ = ∂fᵢ/∂xⱼ | 벡터장 → 행렬 | 다변수 함수의 미분 | 신경망 역전파의 핵심 |
∬f dA (이중적분) | 함수 → 스칼라 | 면적 × 함숫값 누적 | 확률밀도의 적분 |
∇²f (Laplacian) | 스칼라 → 스칼라 | 평균과의 차이 | 열·전기 방정식 |
경사하강법은 손실의 국소 기울기 반대 방향으로 이동한다. 많은 신경망 학습에 쓰이지만, 비미분 모형·폐형식 해법·트리 기반 방법 등 다른 학습 절차도 있다.
핵심 식
∂f/∂xᵢ — 각 변수별 변화율
오늘날의 응용
신경망 역전파(∂L/∂w), 물리 시뮬레이션, 최적화, 경제 한계분석.
MathVoyage 너머로
불러오는 중…