개념
연속적 대칭을 다루는 수학. 회전·이동·로런츠 변환 같은 부드러운 변환들이 만드는 군. 19세기 노르웨이의 소푸스 리가 만들고 20세기 입자물리학의 표준 언어가 되었다.
한 호흡으로 이해하기
연속적으로 변하는 대칭을 다루는 군. 회전군 SO(3), 로런츠군, 표준모형의 게이지 대칭처럼 기하와 이론물리의 여러 구조에 등장한다. 소푸스 리의 연구에서 발전한 리 대수는 유한차원 리 군의 항등원 근처 무한소 변화를 선형화한다. 이 국소 정보가 강력하지만, 군의 전체 위상까지 언제나 한 점에서 결정되는 것은 아니다.
한눈에 보기
SO(2) = 평면 회전군. 단위원 위 한 점 (cos θ, sin θ)이 각 회전에 대응 — 1차원 연속 매개변수 θ로 완전 결정. 가장 단순한 비자명 리 군.
핵심 식
연속 변환의 군 — 무한소 생성자가 핵심
핵심 순간
AD 1873
소푸스 리 — 변환군의 미적분
갈루아의 이산 군 이론을 연속적인 변환으로 일반화. 미분방정식의 대칭 분석.
AD 1900
카르탕 — 리 군의 분류
엘리 카르탕이 모든 단순 리 군을 분류. 예외적 군 G2, F4, E6, E7, E8 발견.
AD 1954
양-밀스 — 게이지 이론
양첸닝과 밀스가 비가환 리 군의 게이지 이론 제안. 표준모형의 토대.
AD 1964
겔만 — SU(3) 입자 분류
머리 겔만이 입자가 SU(3) 표현으로 분류됨을 발견. 노벨 물리학상.
오늘날의 응용
입자물리 표준모형(SU(3)×SU(2)×U(1)), 일반상대성이론, 양자장론, 로보틱스 로봇 자세 제어, 컴퓨터 그래픽 회전.
MathVoyage 너머로
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