개념
유한한 계산으로 오차를 통제한 답을 어떻게 얻는가? 미분방정식·적분·고유값을 근사하고 안정성·수렴·반올림 오차를 분석하는 알고리즘들.
한 호흡으로 이해하기
닫힌 형태의 해가 없거나 계산하기 어려울 때 근삿값과 오차를 함께 구한다. 미분방정식·유체 계산·최적화·수치예보 등 많은 계산 과학이 수치 방법을 사용한다. 알고리즘마다 안정성·수렴 조건·반올림 오차가 다르며, 뉴턴법도 시작점과 도함수 조건이 나쁘면 발산할 수 있다.
한눈에 보기
반복 n | xₙ | |xₙ − √2| | 소수점 일치 자릿수 |
|---|---|---|---|
0 | 1.000000 | 0.4142 | 0 |
1 | 1.500000 | 0.0858 | 0 |
2 | 1.416667 | 0.0025 | 2 |
3 | 1.414216 | 0.0000022 | 5 |
4 | 1.414214 | < 10⁻¹² | 12 |
5 | 1.414214 | 기계 정밀도 | ~16 |
뉴턴법으로 √2 구하기: x ← (x + 2/x) / 2. 근에 충분히 가깝고 조건이 맞으면 오차가 대략 제곱되는 이차 수렴을 보여, 이 예에서는 몇 번 만에 더블 정밀도 한계에 닿는다.
핵심 식
뉴턴법 — 접선으로 근에 다가가기
핵심 순간
바빌로니아 — √2의 정밀한 근삿값
점토판 YBC 7289에는 √2에 매우 가까운 60진수 값이 남아 있다. 현존하는 가장 이른 정밀 수치 계산 사례 가운데 하나지만, 점토판 자체에는 계산 절차가 적혀 있지 않아 특정 알고리즘을 단정할 수 없다.
오일러 — 오일러 방법
미분방정식의 첫 수치 풀이법. 거칠지만 모든 후속 알고리즘의 출발.
울람·폰 노이만·메트로폴리스 등 — 몬테카를로
전시·전후 로스앨러모스 연구에서 난수 표본으로 복잡한 계산을 근사하는 방법을 공동으로 발전시켰다.
쿨리·튜키 — FFT의 재발견과 보급
더 오래된 선행 형태를 효율적인 알고리즘으로 정리해 이산 푸리에 변환의 계산 비용을 크게 낮췄다.
오늘날의 응용
일기예보(NWP), 항공기·자동차 시뮬레이션(CFD), 금융 모델, 신약 분자 시뮬레이션, 영화 CG 물리, 머신러닝의 행렬 연산.
MathVoyage 너머로
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