개념
함수 자체를 변수로 두고 최적화하는 수학. "두 점을 잇는 가장 빠른 경로는?"이라는 베르누이의 도전이 모든 물리법칙의 기본 원리가 되었다.
한 호흡으로 이해하기
경로를 조금 바꿔도 어떤 양의 일차 변화가 0이 되는 경로는 무엇인가. 이 “정지 작용” 조건은 최소값뿐 아니라 최대값이나 안장점도 포함한다. 최소곡면·기하광학·라그랑주 역학과 일반상대성이론의 작용 원리에서 나타나며, 각 사례마다 허용 경로와 경계조건이 다르다.
한눈에 보기
문제 | 최소화하는 양 | 답 | 발견자·연도 |
|---|---|---|---|
최단강하선(brachistochrone) | 낙하 시간 | 사이클로이드 | 베르누이 1696 |
두 점 사이 최단 경로 | 거리 ∫ds | 직선 (평면) / 측지선 (곡면) | 유클리드 |
주어진 둘레로 최대 면적 | −면적 | 원 | 디도 여왕 (전설) |
비누 거품의 모양 | 면적 ∫dA | 최소 곡면 (평균 곡률 0) | 플라토 1849 |
빛의 경로(굴절률 변화) | 광학적 경로 시간의 정지값 | 페르마의 원리 | 페르마 1662 |
행성 궤도 | ∫(T − V)dt (작용) | 뉴턴 운동방정식 | 해밀턴 1834 |
일반상대성 | ∫R√−g d⁴x (상수 생략) | 아인슈타인 장 방정식 | 아인슈타인·힐베르트 1915 |
변분법은 허용된 작은 변화에 대해 함수값이 아니라 함수 전체의 경로가 정지하는 조건을 찾는다. 물리적 해가 언제 최소인지에는 추가 조건이 필요하다.
핵심 식
오일러-라그랑주 방정식
핵심 순간
요한 베르누이 — 최단 강하선 챌린지
미끄러운 경사면 위 두 점을 가장 빠르게 잇는 곡선은? 유럽 수학자들에게 도전. 답은 사이클로이드.
뉴턴이 12시간 만에 답
이 문제를 받은 뉴턴이 밤새 풀어 익명 답변 제출. 베르누이는 "사자의 발톱을 알아본다"며 그를 알아봄.
오일러-라그랑주 방정식
오일러와 라그랑주가 변분 문제의 일반 해법을 정립. "오일러-라그랑주 방정식"으로 모든 물리법칙을 표현하는 길.
라그랑주 — 《해석 역학》
뉴턴 역학을 최소 작용 원리 위에서 재구성. 양자역학·일반상대성이론까지 이어지는 형식의 출발.
오늘날의 응용
물리학의 라그랑지언·해밀토니언 형식, 일반상대성이론의 측지선, 머신러닝의 손실함수 최소화, 광학(페르마 원리), 경제학.
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