개념
함수와 그 도함수의 관계로 자연 현상을 기술하는 방정식. 행성의 궤도부터 전염병의 확산, 옵션 가격까지 — 변화의 법칙을 적는 언어.
한 호흡으로 이해하기
변화율 사이의 관계를 식으로 적는다. 인구 모형·방사성 붕괴·행성 궤도·전염병 확산처럼 시간이나 공간의 변화를 다루는 데 유용하다. 뉴턴 역학·슈뢰딩거·맥스웰·나비에-스토크스 방정식이 대표적이지만, 확률 과정·이산 모형·데이터 기반 모형이 더 알맞은 현상도 있다.
한눈에 보기
지수 성장 e^(0.4t)지수 감쇠 e^(-0.4t)x: 시간 t
핵심 식
변화율 = 자기 자신 → 지수 함수
핵심 순간
AD 1687
《프린키피아》 — 미분방정식의 탄생
뉴턴은 운동과 만유인력을 기하학적 극한 논증으로 전개했고, 같은 시대에 성장한 미적분은 이 법칙을 미분방정식으로 다루는 일반 언어를 제공했다.
AD 1747
달랑베르의 파동 방정식
진동하는 줄이 만족하는 편미분방정식 발견. 음악과 빛의 수학적 묘사가 시작됨.
AD 1865
맥스웰 방정식
4개의 미분방정식이 모든 전자기 현상을 통일적으로 기술. 빛이 전자기파임을 예측.
AD 1973
블랙-숄즈 — 미분방정식이 월스트리트로
옵션 가격을 기술하는 미분방정식 발표. 현대 금융공학의 출발.
오늘날의 응용
뉴턴 역학, 맥스웰 방정식, 슈뢰딩거 방정식, 나비에-스토크스 방정식, 블랙-숄즈 모형, SIR 모형처럼 시간·공간에 따른 변화를 기술하는 많은 자연·사회 모델에 쓰인다. 모든 현상을 결정론적 미분방정식 하나로 표현할 수 있는 것은 아니다.
MathVoyage 너머로
불러오는 중…