개념
무작위 항을 가진 미분방정식. 1944년 이토가 정의. 1973년 블랙-숄즈 옵션 가격 공식이 SDE로 풀려 현대 금융의 기초가 됐다.
한 호흡으로 이해하기
결정적인 변화율에 브라운 운동 같은 무작위 변동을 더한다. 금융가격·입자 확산·생물 모형 등에 쓰이지만, 실제 주가가 단순한 기하 브라운 운동을 정확히 따른다는 뜻은 아니다. 1997년 경제학상은 파생상품 가치평가의 새로운 방법을 발전시킨 머턴과 숄스에게 돌아갔고, 공동 연구자 블랙은 이미 사망해 수상 대상이 아니었다.
한눈에 보기
모델 | SDE | 응용 |
|---|---|---|
기하 브라운 운동 (GBM) | dS = μS dt + σS dW | 주가, Black-Scholes |
Vasicek 금리 | dr = a(b−r) dt + σ dW | 평균 회귀 금리 모델 |
Heston 변동성 | dv = κ(θ−v) dt + ξ√v dW | 변동성도 확률적 |
Langevin 방정식 | dX = −∇U dt + √(2D) dW | 입자 물리·MCMC |
뉴럴 SDE | dh = f(h,t) dt + g(h,t) dW | 확률적 신경망 (2018+) |
Black–Scholes–Merton 모형은 특정 가정 아래 옵션 가격의 기준을 제시했다. 실제 시장에서는 변동성 미소·점프·거래비용 등 때문에 더 복잡한 모형과 위험 관리가 필요하다.
핵심 식
결정적 항 dt + 확률적 항 dWₜ
오늘날의 응용
옵션 가격, 금리 모델링, 알고리즘 트레이딩, 강화학습 정책 그래디언트.
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