아르벨로스 — 칼 모양 넓이가 원 하나와 같다
큰 반원에서 두 작은 반원을 도려낸 칼 모양(아르벨로스). 곡선 셋으로 둘러싸였는데, 그 넓이가 동그란 원 하나와 정확히 같다 — 아르키메데스가 사랑한 도형.
문제
지름 AB 위 한 점 C에서 AC·CB 위에 작은 반원 둘을 그려 만든 아르벨로스(큰 반원 − 두 작은 반원)의 넓이를 구하라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
지름 AB, 그 위 점 C. AC·CB 위에 작은 반원 둘. 큰 반원에서 둘을 빼면 아르벨로스. 넓이는?
왜 이렇게 푸는가
곡선 셋이라 겁나지만, 넓이는 반원 셋의 덧셈·뺄셈일 뿐이다.
아르벨로스 = 큰 반원 − 작은 반원 둘 = ½π(R² − r₁² − r₂²). 그런데 R = r₁ + r₂이므로 R² − r₁² − r₂² = (r₁+r₂)² − r₁² − r₂² = 2r₁r₂. 그래서 아르벨로스 = πr₁r₂.
이제 C에서 AB에 수직선을 올려 큰 반원과 만나는 점 D를 잡자. ∠ADB는 반원에 내접한 각이라 직각(탈레스)이고, CD는 그 직각삼각형의 높이다. 직각삼각형 높이의 성질로 CD² = AC·CB = (2r₁)(2r₂) = 4r₁r₂. 즉 지름이 CD인 원의 넓이 = π(CD/2)² = πr₁r₂ — 아르벨로스와 똑같다. 곡선투성이 도형이 동그란 원 하나로 환원된다.
왜 맞는가
아르벨로스 = ½π(R²−r₁²−r₂²)인데 R=r₁+r₂라 πr₁r₂. C의 수직선이 큰 반원과 만나는 D에 대해 ∠ADB=직각(탈레스)이라 CD²=AC·CB=4r₁r₂. 지름 CD인 원의 넓이 π(CD/2)²=πr₁r₂로 아르벨로스와 같다.
직접 시도해보기
C를 가운데(r₁=r₂=R/2)로 옮겨 보라 — 아르벨로스 = πr₁r₂ = π(R/2)²로 가장 커지고, CD는 큰 반원의 반지름이 된다.
관련된 수학
아르벨로스(그리스어 “칼”)를 《보조정리집》에서 깊이 연구 — 그 넓이가 원 하나와 같음을 보였고, 쌍둥이 원 정리도 남겼다.
반원에 내접한 각은 직각(탈레스 정리) — ∠ADB = 90°라서 CD가 직각삼각형의 높이가 된다.
CD² = AC·CB — 직각삼각형 높이는 두 분할의 기하평균. 원론 2권·6권의 정리.
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