등적변형난이도 · 중간

원의 넓이 πr² — 부채꼴을 펼치면 직사각형

원을 피자처럼 잘게 잘라 번갈아 늘어놓으면 점점 직사각형이 된다. 밑변은 원주의 절반 πr, 높이는 r — 그래서 넓이 πr².

문제

반지름 r인 원의 넓이가 πr²임을, 부채꼴로 잘라 재배치하는 방법으로 보여라.

재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)

반지름 r인 원을 8개 부채꼴로 나눈다. 넓이는?

둥근 도형이라 막막하면, 잘게 잘라 곧게 펴 본다.

원을 가는 부채꼴로 나눈 뒤 하나는 위로, 하나는 아래로 번갈아 늘어놓으면 들쭉날쭉한 띠가 된다. 위·아래의 곡선(호)이 절반씩 번갈아 놓이므로, 띠의 밑변은 원주의 절반인 πr, 높이는 부채꼴의 반지름인 r에 가깝다.

부채꼴을 무한히 잘게 나눌수록 들쭉날쭉함은 사라지고 띠는 완벽한 직사각형이 된다 — 밑변 πr, 높이 r. 따라서 원의 넓이 = πr × r = πr². 곡선을 곧은 조각으로 바꾸는 이 발상이 훗날 적분이 된다.

넓이 = πr²

원을 부채꼴로 잘라 위·아래로 번갈아 늘어놓으면 밑변이 원주의 절반(πr), 높이가 r인 띠가 된다. 부채꼴을 무한히 잘게 나누면 정확한 직사각형이 되어 넓이는 πr × r = πr².

조각을 8개, 16개, 64개로 늘려 상상해 보라 — 위·아래 가장자리의 곡선이 점점 평평해져 직사각형에 수렴한다.

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