원의 넓이 πr² — 부채꼴을 펼치면 직사각형
원을 피자처럼 잘게 잘라 번갈아 늘어놓으면 점점 직사각형이 된다. 밑변은 원주의 절반 πr, 높이는 r — 그래서 넓이 πr².
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
피자 조각을 64개까지 늘려 보세요
둥근 원의 가장자리가 번갈아 맞물리며 점점 밑변 πr, 높이 r인 직사각형으로 눕습니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
반지름 r인 원을 8개 부채꼴로 나눈다. 넓이는?
이제 정확한 문제로 돌아가기
반지름 r인 원의 넓이가 πr²임을, 부채꼴로 잘라 재배치하는 방법으로 보여라.
왜 이렇게 푸는가
둥근 도형이라 막막하면, 잘게 잘라 곧게 펴 본다.
원을 가는 부채꼴로 나눈 뒤 하나는 위로, 하나는 아래로 번갈아 늘어놓으면 들쭉날쭉한 띠가 된다. 위·아래의 곡선(호)이 절반씩 번갈아 놓이므로, 띠의 밑변은 원주의 절반인 πr, 높이는 부채꼴의 반지름인 r에 가깝다.
부채꼴을 무한히 잘게 나눌수록 들쭉날쭉함은 사라지고 띠는 완벽한 직사각형이 된다 — 밑변 πr, 높이 r. 따라서 원의 넓이 = πr × r = πr². 곡선을 곧은 조각으로 바꾸는 이 발상이 훗날 적분이 된다.
왜 맞는가
원을 부채꼴로 잘라 위·아래로 번갈아 늘어놓으면 밑변이 원주의 절반(πr), 높이가 r인 띠가 된다. 부채꼴을 무한히 잘게 나누면 정확한 직사각형이 되어 넓이는 πr × r = πr².
직접 시도해보기
조각을 8개, 16개, 64개로 늘려 상상해 보라 — 위·아래 가장자리의 곡선이 점점 평평해져 직사각형에 수렴한다.
관련된 수학
원의 측정에서 원의 넓이 = 밑변이 둘레·높이가 반지름인 직각삼각형과 같음을 증명.
할원술 — 내접 다각형의 변을 계속 두 배(96→3072각형)로 늘려 원의 넓이와 π에 다가갔다.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld