등적변형난이도 · 쉬움

1 + 3 + 5 + … = 제곱수 — 홀수가 쌓은 정사각형

1, 3, 5, 7, … 홀수를 차례로 더하면 언제나 제곱수. ㄱ자(노몬)를 하나씩 둘러 정사각형을 키워 보면 그 이유가 보인다.

문제

처음 n개의 홀수의 합 1 + 3 + 5 + … + (2n−1)이 n²임을, 정사각형을 키우는 그림으로 보여라.

자르고 · 돌려 · 끼워맞추기

재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)

1칸짜리 정사각형(1 = 1²)에서 시작.

왜 이렇게 푸는가

식을 더하는 대신, 정사각형을 한 겹씩 키운다.

1×1 정사각형(1칸 = 1²)에서 시작한다. 여기에 ㄱ자 모양(노몬)을 둘러 2×2로 키우면, 새로 더한 칸은 3개다. 다시 ㄱ자를 둘러 3×3으로 키우면 5개, 그다음은 7개… k×k를 (k+1)×(k+1)로 키우는 노몬은 항상 2k+1개, 즉 홀수다.

그러니 1 + 3 + 5 + … 를 더하는 것은 곧 정사각형을 한 겹씩 키우는 것과 같다. n번째까지 더하면 n×n 정사각형이 꽉 찬다. ∴ 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n². 고대 피타고라스 학파가 조약돌로 발견한 사실이다.

왜 맞는가

넓이 = 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²

k×k 정사각형을 (k+1)×(k+1)로 키우는 ㄱ자(노몬)는 항상 2k+1칸(홀수)을 더한다. 그래서 홀수를 차례로 더하는 것은 정사각형을 한 겹씩 키우는 것과 같고, n번째까지 더하면 n×n 정사각형이 된다.

직접 시도해보기

노몬 한 겹의 칸 수를 세어 보라: 1, 3, 5, 7, 9 — 모두 홀수. 다 더하면 5×5 = 25칸.

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