¼ + 1/16 + 1/64 + … = ⅓ — 무한을 한눈에
무한히 더하는데 답이 깔끔한 ⅓? 정사각형을 4등분해 한 칸씩 칠해 나가면, 칠한 칸 옆엔 늘 안 칠한 칸이 둘 — 그래서 정확히 삼분의 일.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
끝없이 작은 칸을 더 칠해 보세요
합은 계속 커지지만 ⅓을 넘지 않습니다. 매 색칠 칸 곁에 같은 크기의 빈칸 둘이 따라붙습니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
정사각형을 4등분해 한 칸(¼)을 칠한다. 양옆 두 칸은 안 칠한 채 둔다.
이제 정확한 문제로 돌아가기
¼ + (¼)² + (¼)³ + … 즉 ¼ + 1/16 + 1/64 + … 의 합을, 정사각형을 나누는 그림으로 구하라.
왜 이렇게 푸는가
대수로 풀면 등비급수 공식이지만, 그림이면 한눈에 보인다.
정사각형을 4등분하고 한 칸(¼)을 칠한다. 남은 칸 중 하나를 또 4등분해 한 칸(1/16)을 칠하고, 이를 무한히 반복한다. 칠한 칸은 점점 작아지며 모서리로 수렴한다.
핵심은 비율이다. 매 단계에서 칠한 칸 하나마다 똑같은 크기의 안 칠한 칸이 정확히 둘 생긴다(옆과 위). 즉 어느 크기에서나 칠함 : 안 칠함 = 1 : 2. 정사각형 전체가 이 1:2 조각들로 채워지니, 칠한 부분은 전체의 정확히 ⅓. 따라서 ¼ + 1/16 + 1/64 + … = ⅓.
왜 맞는가
정사각형을 4등분해 한 칸씩 무한히 칠하면, 칠한 칸마다 같은 크기의 안 칠한 칸이 둘씩 생긴다. 칠함:안칠함 = 1:2가 모든 단계에서 유지되므로 칠한 넓이는 전체의 ⅓.
직접 시도해보기
칠한 칸 하나를 짚고 같은 크기의 안 칠한 두 칸을 찾아보라 — 어느 단계든 항상 짝이 둘이다. 1:2가 무너지지 않으니 합은 ⅓.
관련된 수학
포물선의 구적에서 바로 이 급수 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3을 써서 곡선 넓이를 구했다.
할원술 — 무한히 잘게 나눠 극한으로 다가가는 동방의 무한 분할 정신.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld