눈으로 먼저 틀려볼 시간흔들어도 남는 것

정육각형 = 정삼각형 6개 — 벌집의 기하

정육각형의 넓이? 중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 — 정삼각형 6개로 깔끔하게 갈린다. 벌이 벌집을 육각형으로 짓는 이유와도 통한다.

식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.

대칭·밀기난이도 · 쉬움

반전을 천천히 재생하기

손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.

시각 증명 스크러버

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정육각형(한 변 s). 넓이를 어떻게 구할까?

끌어서 조각의 생각을 따라가기

정육각형(한 변 s)의 넓이를, 중심에서 나눠 정삼각형들로 구하라.

정육각형은 반지름과 한 변의 길이가 같은 특별한 도형이다.

중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 삼각형 6개로 나뉜다. 각 삼각형의 두 변은 반지름(= s), 끼인각은 360°/6 = 60°. 두 변이 같고 끼인각이 60°이면 — 정삼각형이다. 그래서 정육각형은 똑같은 정삼각형 6개의 모임.

정삼각형 하나의 넓이는 (√3/4)s²이므로, 정육각형 = 6 × (√3/4)s² = (3√3/2)s² ≈ 2.598 s². 복잡한 도형도 아는 도형으로 쪼개면 넓이가 풀린다 — 이것이 다각형 넓이의 기본 전략이다.

넓이 = (3√3/2) s²

정육각형은 반지름 = 한 변이라, 중심에서 나눈 6삼각형이 모두 두 변이 s이고 끼인각 60°인 정삼각형이다. 정삼각형 넓이 (√3/4)s²의 6배가 정육각형 넓이.

정n각형도 같은 방법으로 n개 이등변삼각형으로 쪼갠다. n이 클수록 원에 가까워지고, 넓이는 πr²로 수렴한다(#9와 연결).

큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.