정육각형 = 정삼각형 6개 — 벌집의 기하
정육각형의 넓이? 중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 — 정삼각형 6개로 깔끔하게 갈린다. 벌이 벌집을 육각형으로 짓는 이유와도 통한다.
문제
정육각형(한 변 s)의 넓이를, 중심에서 나눠 정삼각형들로 구하라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
정육각형(한 변 s). 넓이를 어떻게 구할까?
왜 이렇게 푸는가
정육각형은 반지름과 한 변의 길이가 같은 특별한 도형이다.
중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 삼각형 6개로 나뉜다. 각 삼각형의 두 변은 반지름(= s), 끼인각은 360°/6 = 60°. 두 변이 같고 끼인각이 60°이면 — 정삼각형이다. 그래서 정육각형은 똑같은 정삼각형 6개의 모임.
정삼각형 하나의 넓이는 (√3/4)s²이므로, 정육각형 = 6 × (√3/4)s² = (3√3/2)s² ≈ 2.598 s². 복잡한 도형도 아는 도형으로 쪼개면 넓이가 풀린다 — 이것이 다각형 넓이의 기본 전략이다.
왜 맞는가
정육각형은 반지름 = 한 변이라, 중심에서 나눈 6삼각형이 모두 두 변이 s이고 끼인각 60°인 정삼각형이다. 정삼각형 넓이 (√3/4)s²의 6배가 정육각형 넓이.
직접 시도해보기
정n각형도 같은 방법으로 n개 이등변삼각형으로 쪼갠다. n이 클수록 원에 가까워지고, 넓이는 πr²로 수렴한다(#9와 연결).
관련된 수학
정다각형으로 원을 근사한 사람 — 정육각형(6각형)은 그 사다리의 첫 칸(6→12→24→…).
원론 4권 — 원에 내접하는 정육각형 작도. 반지름이 곧 한 변임을 보인다.
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