직각삼각형 내접원 — r = (a+b−c)/2
직각삼각형에 꼭 맞는 내접원의 반지름은? 세 변 a, b, c만 알면 — 놀랍도록 간단한 (a+b−c)/2. 접선의 성질 하나면 끝.
문제
두 변 a, b와 빗변 c인 직각삼각형의 내접원 반지름 r을 세 변으로 나타내라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
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직각삼각형(두 변 a, b, 빗변 c)에 꼭 맞는 내접원. 반지름 r은?
왜 이렇게 푸는가
핵심은 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질이다.
내접원은 세 변에 접한다. 직각 꼭짓점에서 보면, 원이 두 직각변에 접하므로 그 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리는 둘 다 r이다 (모서리에 한 변이 r인 정사각형이 생긴다). 그러면 한 직각변(길이 b)의 남은 접선은 b − r, 다른 변(a)은 a − r.
이제 빗변을 보자. 빗변의 두 접선은 양 끝 꼭짓점에서 그은 것이라 각각 b − r, a − r과 같다(같은 점에서의 두 접선). 그러므로 빗변 c = (b − r) + (a − r) = a + b − 2r. 풀면 r = (a + b − c)/2. 예를 들어 3-4-5 삼각형(a=3,b=4,c=5)이면 r = (3+4−5)/2 = 1.
왜 맞는가
한 점에서 그은 두 접선은 같다. 직각 꼭짓점의 두 접선은 모두 r, 빗변의 두 접선은 a−r과 b−r이다. 빗변 c = (a−r)+(b−r) = a+b−2r이므로 r = (a+b−c)/2.
직접 시도해보기
3-4-5 삼각형: r = (3+4−5)/2 = 1. 5-12-13이면? r = (5+12−13)/2 = 2. 항상 정수가 나오는 게 신기하다.
관련된 수학
빗변 c = √(a²+b²)(피타고라스)와 결합하면 내접원 반지름을 두 변만으로 구할 수 있다.
원론 4권 4 — 삼각형 내접원 작도. 한 점에서 그은 두 접선이 같다는 성질이 증명의 핵심.
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