정사각형 속 나뭇잎 — 적분 없이 넓이 구하기
한 변이 a인 정사각형. 마주 보는 두 꼭짓점에서 사분원 둘을 그리면 가운데 나뭇잎이 생긴다. 그 넓이는? 적분도, 공식 암기도 필요 없다.
문제
한 변의 길이가 a인 정사각형이 있다. 서로 마주 보는 두 꼭짓점을 중심으로 반지름이 a인 사분원을 각각 그린다. 두 사분원이 겹쳐 만든 나뭇잎(잎새) 모양의 넓이를 구하라.
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한 변 a 정사각형. 마주 보는 두 꼭짓점에서 반지름 a인 사분원을 그린다.
왜 이렇게 푸는가
곡선 넓이라고 겁먹고 적분부터 떠올리면 진다. 핵심은 겹쳐서 두 번 센 부분이다.
사분원 하나의 넓이는 πa²/4. 두 사분원을 더하면 정사각형 전체를 한 번 덮는데, 가운데 잎새만큼은 두 사분원이 겹쳐서 두 번 덮는다. 놀랍게도 반지름 a인 두 사분원의 합집합은 정사각형과 정확히 일치한다(두 사분원의 호가 정사각형의 두 꼭짓점에서 만나기 때문).
그러면 식은 한 줄이다: 2 × (사분원) = (정사각형) + (잎새). 즉 잎새 = 2·(πa²/4) − a² = (π/2 − 1)·a² ≈ 0.571·a². 곡선이 들어가도 넓이를 더하고 빼는 회계만으로 끝난다.
왜 맞는가
곡선 영역이지만 적분이 필요 없다. 두 사분원의 합이 정사각형을 한 번, 겹친 잎새를 두 번 덮으므로 잎새 = 사분원 둘을 더한 값에서 정사각형을 한 번 뺀 것.
직접 시도해보기
a = 10이라면? 잎새 넓이 = (π/2 − 1)·100 ≈ 57.1. 정사각형(100)의 절반보다 조금 더 크다는 걸 눈으로 확인해 보라.
관련된 수학
적분이 나오기 2천 년 전, 소진법으로 곡선 도형의 넓이와 π를 다룬 곡선 넓이 계산의 선구자.
원에 내접한 다각형을 점점 잘게 잘라 넓이에 다가간 할원술 — 곡선을 직선 조각으로 바꿔 보는 같은 정신.
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