삼각수 1+2+…+n = n(n+1)/2 — 두 계단의 비밀
1+2+3+…+n을 빨리 더하는 법? 계단처럼 쌓은 뒤 똑같은 계단을 거꾸로 맞물리면 깔끔한 직사각형 — 그 절반이 답.
문제
1 + 2 + 3 + … + n (삼각수)의 합을, 계단을 맞물려 직사각형을 만드는 그림으로 구하라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
1+2+3+4+5를 계단으로 쌓는다 (삼각수 T₅).
왜 이렇게 푸는가
한 줄씩 늘어나는 계단으로 1+2+…+n을 쌓는다. 계단 하나로는 합이 한눈에 안 보인다.
그런데 똑같은 계단을 하나 더 만들어 180° 돌려 위에서 맞물리면, 들쭉날쭉하던 두 계단이 완벽한 직사각형으로 딱 맞물린다. 이 직사각형은 가로 n칸, 세로 n+1칸이다.
계단 둘이 직사각형 하나(= n(n+1))를 채우니, 계단 하나는 그 절반 — 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. 어린 가우스가 1부터 100까지를 순식간에 더한 바로 그 trick(1+100, 2+99, …)의 도형 버전이다.
왜 맞는가
계단(삼각수)을 180° 돌린 복제본과 맞물리면 n×(n+1) 직사각형이 된다. 계단 둘이 직사각형 하나이므로 1+2+…+n = n(n+1)/2.
직접 시도해보기
n=100이면? 직사각형은 100×101이고 절반은 5050 — 가우스가 암산으로 낸 그 답.
관련된 수학
피타고라스 학파의 삼각수 — 조약돌을 삼각형으로 쌓은 형상수. 1, 3, 6, 10 … (테트락티스 10이 그들의 성수).
원론의 비례·넓이론으로 이런 합을 도형으로 다룬다 — 수를 길이·넓이로 보는 그리스 수론.
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