바리니종 — 아무 사각형의 중점이 만드는 평행사변형
제멋대로 찌그러진 사각형. 네 변의 중점을 이으면 — 놀랍게도 언제나 평행사변형. 사각형이 아무리 비뚤어져도.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
한 꼭짓점을 끌어 사각형을 망가뜨려 보세요
바깥 도형이 비뚤어지고 오목해져도 네 중점은 안쪽 평행사변형을 계속 복구합니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
제멋대로 생긴 사각형. 네 변의 중점 P, Q, R, S를 잡는다.
이제 정확한 문제로 돌아가기
임의의 사각형의 네 변의 중점을 차례로 이어 만든 도형이 평행사변형임을 보여라.
왜 이렇게 푸는가
사각형이 정사각형도 아니고 제멋대로인데 왜 항상 평행사변형이 될까? 대각선을 그어 보면 보인다.
사각형 ABCD에 대각선 AC를 긋는다. 변 AB의 중점 P와 변 BC의 중점 Q를 잇는 선 PQ는, 삼각형 ABC의 중점연결선 — AC와 평행하고 길이는 절반이다. 똑같이 변 CD·DA의 중점 R, S를 잇는 SR도 삼각형 ACD에서 AC와 평행하고 절반. 그러니 PQ ∥ SR이고 길이도 같다.
다른 대각선 BD로 보면 똑같은 이유로 QR ∥ PS. 두 쌍의 대변이 평행하니 — PQRS는 평행사변형이다. 원래 사각형의 모양과 전혀 상관없이. (덤: 이 평행사변형의 넓이는 사각형의 정확히 절반.)
왜 맞는가
대각선 AC에 대해 PQ·SR이 모두 AC와 평행하고 절반(중점연결정리)이라 PQ∥SR. 대각선 BD로 QR∥PS. 두 쌍의 대변이 평행하므로 PQRS는 평행사변형이며, 원래 사각형의 모양과 무관하다.
직접 시도해보기
사각형의 한 꼭짓점을 마음대로 끌어 보라(오목하게도). 중점 넷을 이은 도형은 여전히 평행사변형이다.
관련된 수학
중점연결정리 — 삼각형 두 변의 중점을 이으면 셋째 변과 평행하고 길이 절반. 원론 6권의 비례론.
평행선과 비례(탈레스 절편정리) — 중점이 변을 반으로 나누니 중점선이 대각선과 나란해진다.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.