비비아니 정리 — 정삼각형 속 점, 세 거리 합은 늘 같다
정삼각형 안 어디에 점을 찍든, 세 변까지의 거리를 더하면 항상 똑같다 — 정확히 삼각형의 높이. 점을 옮겨도 변하지 않는다.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
점을 세 변 가까이 마구 옮겨 보세요
세 거리는 제각각 늘고 줄지만 합계 바늘은 정삼각형의 높이에서 꼼짝하지 않습니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
정삼각형 안 아무 점 P. 세 변까지 수직 거리 d₁, d₂, d₃.
이제 정확한 문제로 돌아가기
정삼각형 내부의 임의의 점에서 세 변까지의 (수직) 거리의 합이 삼각형의 높이와 같음을 보여라.
왜 이렇게 푸는가
점 P의 위치를 모르니 막막하지만, 넓이로 세면 한 줄이다.
P에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 정삼각형이 작은 삼각형 셋으로 나뉜다. 세 삼각형의 밑변은 모두 같은 한 변 s이고, 높이는 각각 P에서 그 변까지의 거리 d₁, d₂, d₃다.
세 넓이를 더하면 전체 넓이다: ½s·d₁ + ½s·d₂ + ½s·d₃ = ½s(d₁+d₂+d₃). 한편 전체 넓이는 ½s·h(밑변 s, 높이 h). 둘이 같으니 양변의 ½s를 지우면 — d₁ + d₂ + d₃ = h. P가 어디 있든 s와 h는 그대로라, 거리의 합은 언제나 높이로 일정하다.
왜 맞는가
P를 세 꼭짓점과 이어 만든 세 삼각형은 밑변이 모두 한 변 s, 높이가 d₁·d₂·d₃다. 넓이 합이 전체(½s·h)와 같아 d₁+d₂+d₃=h. P의 위치와 무관하게 일정하다.
직접 시도해보기
P를 한 꼭짓점으로 바짝 옮겨 보라 — 그 변까지 거리는 0에 가깝고 나머지 둘이 커지지만, 셋의 합은 여전히 높이 h.
관련된 수학
삼각형 넓이 = ½·밑변·높이, 그리고 부분 넓이의 합 = 전체 — 모두 원론 1권의 넓이론.
정삼각형의 높이 h = (√3/2)s 자체가 피타고라스 정리에서 나온다 (반-밑변과 빗변).
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.