λvv
대수 · 개념 허브

고유값과 고유벡터

Eigenvalues and Eigenvectors

AD 182219세기 프랑스 (코시)

개념

행렬이 늘리거나 줄이기만 하고 방향은 바꾸지 않는 벡터. PageRank, PCA, 양자역학 — 고차원 데이터의 주축을 찾는 도구.

한 호흡으로 이해하기

행렬 A를 곱했을 때 같은 직선 위에 남아 λ배가 되는 0이 아닌 벡터 v. λ가 음수면 방향이 뒤집히고, 복소 고유값이 필요할 수도 있다. PageRank는 웹 링크를 확률 전이 행렬로 모델링해 정상 분포에 대응하는 고유벡터를 근사한다.

한눈에 보기

행렬 A

고유값 λ

고유벡터 v

직관

[[2,0],[0,3]]

2, 3

(1,0), (0,1)

x축·y축 방향만 그대로

[[3,1],[0,2]]

3, 2

(1,0), (1,−1)

기울어진 두 축

회전 90° [[0,-1],[1,0]]

복소수 ±i

(1, ±i)

실 고유벡터 없음

PCA 데이터 공분산

주성분 분산

주축 방향

데이터의 방향성

Google 링크 행렬

1 (스칼라)

PageRank 벡터

웹의 정상 분포

Av = λv. 복소수에서 n×n 행렬의 특성다항식은 중복도를 포함해 n개의 근을 갖지만, 서로 독립인 고유벡터가 언제나 n개인 것은 아니다.

핵심 식

Av=λvA\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

Av = λv

오늘날의 응용

PCA 차원 축소, PageRank, 양자역학(에너지 상태), 진동 모드 분석.

MathVoyage 너머로

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