개념
방향과 크기를 가진 양 + 그 변환을 다루는 수학. 19세기 추상화에서 시작해 오늘날 머신러닝의 언어가 되었다.
한 호흡으로 이해하기
벡터는 여러 성분을 한 대상으로 묶고, 행렬은 선형변환을 압축해 표현한다. 케일리의 1858년 논문은 앞선 행렬 계산을 일반 대수로 발전시키는 데 기여했다. 오늘날 그래픽·신경망·양자역학·통계학에서 핵심 도구지만, 비선형 변환은 행렬 하나만으로 표현되지 않고 평행이동에는 동차좌표 같은 확장이 필요하다.
한눈에 보기
행렬 | 의미 | 효과 (단위 정사각형) |
|---|---|---|
[[2,0],[0,2]] | 2배 확대 | 면적 ×4 |
[[cos θ, -sin θ],[sin θ, cos θ]] | 회전 (θ) | 면적 보존 |
[[-1,0],[0,1]] | y축 대칭 | 면적 보존, 향 뒤집힘 |
[[1,1],[0,1]] | 전단(shear) | 면적 보존, 평행사변형 |
[[a,b],[c,d]] | 일반 변환 | 면적 ×|ad-bc| |
행렬 = 공간 변환의 압축 표현. 행렬식 |det| = 면적 배율. 음수면 향이 뒤집힘.
핵심 식
Ax = 변환된 벡터
핵심 순간
해밀턴의 사원수 — 벡터의 전조
해밀턴이 4차원 수 체계 사원수를 발견하면서 벡터 개념의 씨앗을 뿌림.
그라스만의 외적대수학
독일 김나지움 교사 그라스만이 n차원 벡터의 일반 이론을 출간. 당대에는 무시되었으나 20세기에 재발견.
케일리의 행렬 대수
아서 케일리가 행렬을 수처럼 더하고 곱할 수 있는 대상으로 정립. 행렬 곱셈 규칙 정의.
딥러닝 혁명 — 행렬이 GPU에서 폭발
AlexNet이 ImageNet에서 압도적 승리. 신경망의 본질은 거대한 행렬 곱셈이며 GPU가 그것을 병렬 처리.
오늘날의 응용
컴퓨터 그래픽의 회전·이동·투영, 신경망의 가중치 계산, PageRank, 데이터 과학의 PCA처럼 여러 양과 선형 변환을 함께 다루는 기술에 널리 쓰인다.
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