황금 직사각형 — 떼어내도 또 황금 (φ)
황금 직사각형에서 정사각형을 떼어내면 남는 것도 또 황금 직사각형. 떼고 또 떼면 황금 나선이 감긴다 — 자연과 예술이 사랑한 비율 φ.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
정사각형을 떼고 또 떼어 보세요
남은 직사각형은 작아질 뿐, 가로세로 비 φ를 복제하며 같은 모습을 되풀이합니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
가로:세로 = φ:1(≈1.618:1)인 황금 직사각형.
이제 정확한 문제로 돌아가기
가로:세로 = φ:1 인 황금 직사각형이 자기 자신을 닮는 성질을 그림으로 보이고, φ = (1+√5)/2 를 설명하라.
왜 이렇게 푸는가
황금 직사각형은 가로와 세로의 비가 φ ≈ 1.618인 직사각형이다.
여기서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내면, 남는 직사각형의 변의 비가 또 φ다 — 즉 작은 황금 직사각형. 이를 반복하면 점점 작아지는 황금 직사각형들이 한 점(나선의 눈)으로 소용돌이치고, 각 정사각형에 사분원을 이으면 황금 나선이 그려진다.
이 자기닮음이 곧 φ의 정의다: 긴 변이 짧은 변의 φ배이고, 정사각형을 떼도 비가 유지되려면 φ − 1 = 1/φ, 즉 φ² = φ + 1. 이 식을 풀면 φ = (1+√5)/2. 피보나치 수열(1,1,2,3,5,8,…)의 이웃 항 비도 바로 이 φ로 다가간다.
왜 맞는가
황금 직사각형에서 정사각형을 떼면 남는 직사각형도 같은 비율(자기닮음)이다. 이 조건 φ−1=1/φ에서 φ²=φ+1, 따라서 φ=(1+√5)/2. 사분원을 이으면 황금 나선이 된다.
직접 시도해보기
피보나치 수로 변을 잡아 보라: 144×89, 떼면 89×55, 그다음 55×34… 비는 모두 ≈ 1.618로 φ에 다가간다.
관련된 수학
바로 그 비율 — φ:1. 정사각형을 떼도 비가 유지되는 자기닮음이 φ²=φ+1의 기하적 모습.
피보나치 수열(1,1,2,3,5,8,13…)의 이웃 항 비가 φ로 수렴 — 황금 직사각형 변 비율의 정수 근사.
원론 6권 정의 3 — φ를 외중비(extreme and mean ratio)로 정의. 황금비의 첫 엄밀한 기술.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld