히포크라테스의 초승달 — 곡선인데 넓이가 딱 떨어진다
반원 위에 또 반원. 그 사이 초승달(lune)은 곡선으로 둘러싸였는데도 넓이가 삼각형과 정확히 같다. 고대 그리스에서 전해지는 가장 이른 정확한 곡선 구적 사례 가운데 하나다.
문제
빗변 AB를 지름으로 하는 반원에 직각이등변삼각형 ACB를 내접시킨다(직각은 C). 한 변 AC를 지름으로 바깥쪽에 작은 반원을 그리면, 작은 반원과 큰 호 AC 사이에 초승달이 생긴다. 이 초승달의 넓이를 구하라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
빗변 AB를 지름으로 한 반원에 직각이등변삼각형 ACB(직각 C)를 내접. AC 위 바깥에 작은 반원을 그으면 초승달이 생긴다. 넓이는?
왜 이렇게 푸는가
곡선 둘로 둘러싸인 넓이라 적분이 떠오르지만, 여기서도 핵심은 더하고 빼는 회계다.
초승달은 작은 반원에서 큰 원이 현 AC를 따라 잘라낸 활꼴을 뺀 것이다. 작은 반원 = ½πr² (r = AC/2). 활꼴 = 부채꼴 − 삼각형 = ¼πR² − ½R². 그런데 AC는 직각(C)을 마주 보므로 큰 원에서 90° 호를 자르고, r = R/√2이라 작은 반원도 ¼πR².
그래서 초승달 = ¼πR² − (¼πR² − ½R²) = ½R². π가 통째로 상쇄된다! 곡선이 둘이나 들어갔는데 답엔 곡선의 흔적(π)이 없다 — 초승달은 삼각형 AOC(중심 O)와 정확히 같고, 이는 삼각형 ACB의 절반이다.
왜 맞는가
작은 반원에서 현 AC가 자른 활꼴을 빼면 초승달. 직각이등변 조건 덕분에 두 곳의 ¼πR²가 정확히 상쇄돼, 곡선으로 둘러싸인 초승달이 직선 도형(삼각형 AOC)과 같아진다. 역사상 최초로 곡선 도형의 넓이를 정확히 구한 사례.
직접 시도해보기
삼각형을 더 납작하게 기울이면? 더 이상 직각이등변이 아니어서 π가 깔끔히 상쇄되지 않는다. 히포크라테스의 마법은 직각이등변이라는 조건에 정확히 걸려 있다 — 그래서 일반 초승달의 구적은 여전히 어렵다.
관련된 수학
원과 포물선의 구적으로 곡선 넓이 계산을 정점에 올린 사람 — 히포크라테스가 연 길을 소진법으로 완성.
반원에 내접한 각은 직각(탈레스 정리) — 빗변을 지름으로 한 직각삼각형이 이 증명의 출발점.
내접각·활꼴·부채꼴 넓이는 모두 원론의 정리 — 이 증명의 벽돌 하나하나가 유클리드 기하.
할원술 — 곡선을 직선 조각으로 바꿔 넓이에 다가가는, 같은 정신의 동방 전통.
MathVoyage 너머로
불러오는 중…