기울어진 평행사변형 — 잘라서 밀면 직사각형
평행사변형이 기울어져 있어 넓이가 막막하다? 한쪽 끝 삼각형을 잘라 반대편으로 밀면 깔끔한 직사각형 — 밑변 × 높이가 한눈에.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
윗변을 밀어 도형을 기울여 보세요
겉모양과 둘레는 변해도 밑변과 높이가 그대로라면 넓이는 움직이지 않습니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
밑변 b, 높이 h인 기울어진 평행사변형. 넓이는?
이제 정확한 문제로 돌아가기
밑변이 b, 높이가 h인 (기울어진) 평행사변형의 넓이를 구하라. 단, 자르고 밀기만으로.
왜 이렇게 푸는가
기울어졌다는 것에 속지 말자. 밑변과 높이는 그대로 둔 채 모양만 바꿀 수 있다.
왼쪽 끝에서 세로로 보조선을 내려 직각삼각형을 잘라낸다. 그 삼각형을 오른쪽 빈 자리로 평행이동시키면 — 평행사변형의 위·아래 변은 길이가 같고 평행하므로 — 잘린 자리에 정확히 들어맞아 직사각형이 된다.
자르고 밀어도 넓이는 한 조각도 늘거나 줄지 않는다. 만들어진 직사각형의 가로는 밑변 b, 세로는 높이 h. 그래서 평행사변형 넓이 = b × h. 기울기는 넓이와 무관하다.
왜 맞는가
왼쪽 직각삼각형을 잘라 오른쪽으로 평행이동하면 직사각형이 된다. 자르고 미는 동안 넓이는 보존되므로 평행사변형 넓이는 밑변 × 높이.
직접 시도해보기
평행사변형을 더 심하게 기울여 상상해 보라. 잘라낼 삼각형이 길고 가늘어질 뿐, 밀어 넣으면 여전히 같은 b × h 직사각형이 된다.
관련된 수학
자르고 밀어도 넓이가 변하지 않는다는 직관은 카발리에리 원리(같은 높이의 단면이 같으면 넓이가 같다)로 이어지고, 이는 적분의 직관적 선구다.
원론 1권 명제 35 — 같은 밑변과 같은 평행선 사이의 평행사변형은 넓이가 같다. 바로 이 밀어도 불변.
출입상보(出入相補) — 한쪽에서 잘라 반대쪽 빈 곳을 채우면 넓이 보존. 평행사변형을 직사각형으로 바꾸는 핵심.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.