기울어진 평행사변형 — 잘라서 밀면 직사각형
평행사변형이 기울어져 있어 넓이가 막막하다? 한쪽 끝 삼각형을 잘라 반대편으로 밀면 깔끔한 직사각형 — 밑변 × 높이가 한눈에.
문제
밑변이 b, 높이가 h인 (기울어진) 평행사변형의 넓이를 구하라. 단, 자르고 밀기만으로.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
밑변 b, 높이 h인 기울어진 평행사변형. 넓이는?
왜 이렇게 푸는가
기울어졌다는 것에 속지 말자. 밑변과 높이는 그대로 둔 채 모양만 바꿀 수 있다.
왼쪽 끝에서 세로로 보조선을 내려 직각삼각형을 잘라낸다. 그 삼각형을 오른쪽 빈 자리로 평행이동시키면 — 평행사변형의 위·아래 변은 길이가 같고 평행하므로 — 잘린 자리에 정확히 들어맞아 직사각형이 된다.
자르고 밀어도 넓이는 한 조각도 늘거나 줄지 않는다. 만들어진 직사각형의 가로는 밑변 b, 세로는 높이 h. 그래서 평행사변형 넓이 = b × h. 기울기는 넓이와 무관하다.
왜 맞는가
왼쪽 직각삼각형을 잘라 오른쪽으로 평행이동하면 직사각형이 된다. 자르고 미는 동안 넓이는 보존되므로 평행사변형 넓이는 밑변 × 높이.
직접 시도해보기
평행사변형을 더 심하게 기울여 상상해 보라. 잘라낼 삼각형이 길고 가늘어질 뿐, 밀어 넣으면 여전히 같은 b × h 직사각형이 된다.
관련된 수학
자르고 밀어도 넓이가 변하지 않는다는 직관은 카발리에리 원리(같은 높이의 단면이 같으면 넓이가 같다)로 이어지고, 이는 적분의 직관적 선구다.
원론 1권 명제 35 — 같은 밑변과 같은 평행선 사이의 평행사변형은 넓이가 같다. 바로 이 밀어도 불변.
출입상보(出入相補) — 한쪽에서 잘라 반대쪽 빈 곳을 채우면 넓이 보존. 평행사변형을 직사각형으로 바꾸는 핵심.
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