플라톤의 정사각형 두 배 — 대각선의 비밀
정사각형의 넓이를 정확히 두 배로 만들려면 변을 얼마나 늘려야 할까? 답은 변이 아니라 대각선에 있다 — 플라톤이 노예 소년에게 시켰던 그 문제.
문제
한 정사각형의 대각선을 한 변으로 하는 새 정사각형의 넓이가 원래의 몇 배인지, 자르고 돌려 보여라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
한 변 s, 넓이 S인 정사각형. 두 대각선으로 네 조각으로 나눈다.
왜 이렇게 푸는가
“변을 두 배로?” 하면 넓이는 네 배가 돼 버린다. 정답은 대각선이다.
정사각형을 두 대각선으로 자르면 네 개의 똑같은 직각삼각형이 된다. 이 네 조각을 각 변의 바깥으로 180° 펼치면, 원래 정사각형을 가운데 그대로 둔 채 사방을 둘러싸 — 대각선 위의 정사각형(45° 기운 정사각형)을 만든다.
새 정사각형 = 가운데 원래 정사각형 + 펼친 네 조각. 그런데 네 조각의 넓이 합은 원래 정사각형과 같으니(원래 정사각형을 4등분한 것이므로), 새 정사각형은 정확히 2배다. 변의 길이는 s√2 — 그래서 (s√2)² = 2s². 두 배를 만드는 건 변이 아니라 대각선이었다.
왜 맞는가
정사각형을 두 대각선으로 4등분해 각 변 바깥으로 180° 펼치면, 원래 정사각형을 가운데 둔 채 대각선 위의 정사각형이 만들어진다. 펼친 네 조각의 넓이 합 = 원래 정사각형이므로 새 정사각형은 정확히 2배. 두 배를 만드는 것은 변이 아니라 대각선(s√2)이다.
직접 시도해보기
원래 정사각형(가운데)과 펼친 네 조각이 같은 넓이임을 확인해 보라 — 새 정사각형이 둘로 똑같이 나뉜다. 그래서 “두 배”.
관련된 수학
대각선 길이는 √(s²+s²) = s√2 (피타고라스) — 그래서 대각선 위 정사각형은 (s√2)² = 2s².
변과 대각선의 통약 불가능성은 피타고라스 학파를 뒤흔든 위기 — 이 도형이 그 진원지.
원론 2·10권의 면적·무리량 이론이 이 “두 배” 논증의 엄밀한 토대.
바로 이 정사각형의 대각선에서 무리수 √2를 발견 — 정수의 비로 잴 수 없는 수의 첫 등장.
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