점을 어디 찍든 — 위+아래 = 좌+우
직사각형 안 아무 곳에나 점을 찍고 네 꼭짓점과 이으면 삼각형 4개. 마주 보는 두 쌍의 넓이 합은 언제나 같다. 보조선 하나면 증명 끝.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
점을 일부러 엉뚱한 곳으로 끌어보세요
네 삼각형의 모양은 크게 흔들리지만, 두 쌍의 넓이 합은 끝까지 절반을 놓치지 않습니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
내부의 아무 점 P에서 네 꼭짓점으로 — 삼각형 4개(위·아래·좌·우).
이제 정확한 문제로 돌아가기
직사각형 내부의 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선분을 그어 삼각형 4개(위·아래·좌·우)를 만든다. 위 + 아래 삼각형의 넓이 합과 좌 + 우 삼각형의 넓이 합을 비교하라.
왜 이렇게 푸는가
점 P의 좌표를 모르니 막막해 보인다. 그러나 보조선 하나면 끝난다.
P를 지나는 세로선을 그어 보라. 위 삼각형과 아래 삼각형은 밑변이 똑같이 직사각형의 가로(W)이고, 두 삼각형의 높이를 더하면 직사각형의 세로(H)가 된다. 그래서 위 + 아래 = ½·W·(높이 합) = ½·W·H = 직사각형의 절반.
똑같이 가로 보조선을 그으면 좌 + 우 = ½·H·W = 절반. 둘 다 절반이니 서로 같다. P가 구석에 있든 한가운데 있든 상관없다 — 높이(또는 폭)의 합은 항상 H(또는 W)니까.
왜 맞는가
세로 보조선으로 위·아래의 높이 합이 H임을, 가로 보조선으로 좌·우의 폭 합이 W임을 본다. 두 쌍 모두 직사각형의 절반이라 서로 같고, P의 위치와 무관하다.
직접 시도해보기
P를 한쪽 구석으로 바짝 밀어 보라. 한 삼각형은 거의 사라지고 맞은편은 커지지만, 위+아래는 여전히 정확히 절반이다.
관련된 수학
삼각형 넓이 = ½·밑변·높이, 그리고 보조선으로 도형을 나눠 다루는 법 — 모두 원론 1권의 전형.
출입상보(出入相補) — 보조선으로 도형을 나눠 한쪽의 넓이를 반대쪽으로 옮겨 비교하는 분해의 정신.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld