중점을 이으면 정확히 절반 — 마름모의 비밀
직사각형 네 변의 중점을 이어 마름모를 만든다. 직사각형이 길든 납작하든, 마름모는 언제나 정확히 절반. 왜?
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
직사각형을 납작하게 찌그러뜨려 보세요
마름모 모양은 계속 바뀌지만 중점이 지키는 넓이 비율은 정확히 50%입니다.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
네 변의 중점을 이어 마름모를 만든다. 이 마름모의 넓이는?
이제 정확한 문제로 돌아가기
직사각형의 네 변의 중점을 차례로 이으면 마름모가 생긴다. 이 마름모의 넓이가 직사각형 넓이의 몇 배인지 구하라.
왜 이렇게 푸는가
비율을 계산하려 들면 변수 W, H가 끝까지 따라온다. 대신 남는 조각을 본다.
마름모를 그리고 나면 네 귀퉁이에 직각삼각형이 하나씩 남는다. 이 삼각형 하나를 변의 중점을 축으로 180° 돌려보라. 네 꼭짓점이 모두 직사각형의 정중앙으로 모이며, 네 조각이 마름모를 빈틈없이 채운다.
즉 바깥 네 조각 = 안쪽 마름모. 둘을 합치면 직사각형이니, 마름모는 정확히 절반이다. W도 H도 식에 등장하지 않는다 — 비율은 모양과 무관하게 ½.
왜 맞는가
네 귀퉁이 삼각형을 180° 돌리면 마름모를 정확히 채운다. 바깥 네 조각과 안쪽 마름모가 같으므로 마름모는 직사각형의 절반 — 가로·세로 비율과 무관.
직접 시도해보기
아주 납작한 직사각형이나 정사각형으로 바꿔 상상해 보라. 귀퉁이 삼각형 모양은 변해도, 네 개를 돌려 맞추면 항상 마름모를 채운다 — 비율은 변치 않는다.
관련된 수학
합동인 조각을 옮겨도 넓이는 보존된다는 원론의 넓이론 — 귀퉁이 삼각형을 돌려 마름모를 채우는 근거.
출입상보(出入相補) — 잘라낸 만큼 다른 곳을 채우면 넓이는 그대로. 네 삼각형을 돌려 마름모를 메우는 바로 그 원리.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld