중점을 이으면 정확히 절반 — 마름모의 비밀
직사각형 네 변의 중점을 이어 마름모를 만든다. 직사각형이 길든 납작하든, 마름모는 언제나 정확히 절반. 왜?
문제
직사각형의 네 변의 중점을 차례로 이으면 마름모가 생긴다. 이 마름모의 넓이가 직사각형 넓이의 몇 배인지 구하라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
네 변의 중점을 이어 마름모를 만든다. 이 마름모의 넓이는?
왜 이렇게 푸는가
비율을 계산하려 들면 변수 W, H가 끝까지 따라온다. 대신 남는 조각을 본다.
마름모를 그리고 나면 네 귀퉁이에 직각삼각형이 하나씩 남는다. 이 삼각형 하나를 변의 중점을 축으로 180° 돌려보라. 네 꼭짓점이 모두 직사각형의 정중앙으로 모이며, 네 조각이 마름모를 빈틈없이 채운다.
즉 바깥 네 조각 = 안쪽 마름모. 둘을 합치면 직사각형이니, 마름모는 정확히 절반이다. W도 H도 식에 등장하지 않는다 — 비율은 모양과 무관하게 ½.
왜 맞는가
네 귀퉁이 삼각형을 180° 돌리면 마름모를 정확히 채운다. 바깥 네 조각과 안쪽 마름모가 같으므로 마름모는 직사각형의 절반 — 가로·세로 비율과 무관.
직접 시도해보기
아주 납작한 직사각형이나 정사각형으로 바꿔 상상해 보라. 귀퉁이 삼각형 모양은 변해도, 네 개를 돌려 맞추면 항상 마름모를 채운다 — 비율은 변치 않는다.
관련된 수학
합동인 조각을 옮겨도 넓이는 보존된다는 원론의 넓이론 — 귀퉁이 삼각형을 돌려 마름모를 채우는 근거.
출입상보(出入相補) — 잘라낸 만큼 다른 곳을 채우면 넓이는 그대로. 네 삼각형을 돌려 마름모를 메우는 바로 그 원리.
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