직사각형을 잘라 정사각형으로 — 같은 넓이
넓이가 같은 직사각형과 정사각형. 직사각형을 두 번 잘라 옮기면 정사각형이 된다 — 2천 년간 “도형의 넓이를 정사각형으로 재는” 구적의 핵심.
문제
가로 p, 세로 q인 직사각형을, 넓이가 같은 정사각형(변 √(pq))으로 자르고 옮겨 바꿔라. (예: 9 × 4 → 6 × 6)
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
가로 p, 세로 q인 직사각형(예 9×4). 같은 넓이의 정사각형(변 √(pq)=6)으로 바꾸자.
왜 이렇게 푸는가
직사각형과 정사각형을 왼쪽 아래 모서리를 맞춰 겹쳐 본다.
둘이 겹치는 부분은 그대로 둔다. 직사각형이 정사각형보다 옆으로 튀어나온 부분과, 정사각형이 위로 더 높은 빈 부분은 넓이가 같다(전체 넓이가 같으니까). 그러니 튀어나온 조각을 잘라 위 빈 곳으로 올려 채우면 된다.
9 × 4 직사각형이라면 정사각형은 6 × 6(√(9×4)=6). 오른쪽으로 튀어나온 3 × 4 조각을 가로로 한 번 더 잘라 3 × 2 두 조각으로 만들고, 위 빈 6 × 2 자리에 나란히 올리면 — 정사각형 완성. 자르고 옮기는 동안 넓이는 한 톨도 변하지 않으니, 정사각형의 변은 정확히 √(pq).
왜 맞는가
직사각형과 정사각형을 겹쳐, 옆으로 튀어나온 조각을 잘라 위 빈 곳으로 옮기면 정사각형이 된다. 자르고 옮겨도 넓이가 보존되므로 정사각형의 변은 √(pq).
직접 시도해보기
튀어나온 조각의 넓이(3×4=12)와 위 빈 곳(6×2=12)이 같음을 확인해 보라 — 전체 넓이가 같으니 당연하다. 그래서 딱 맞아 들어간다.
관련된 수학
원론 2권 명제 14 — 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 작도. 직사각형의 구적(quadrature) 그 자체.
출입상보(出入相補) — 튀어나온 부분을 잘라 빈 곳을 채워 모양만 바꾸고 넓이는 보존.
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