직사각형을 잘라 정사각형으로 — 같은 넓이
넓이가 같은 직사각형과 정사각형. 직사각형을 두 번 잘라 옮기면 정사각형이 된다 — 2천 년간 “도형의 넓이를 정사각형으로 재는” 구적의 핵심.
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
가로 p, 세로 q인 직사각형(예 9×4). 같은 넓이의 정사각형(변 √(pq)=6)으로 바꾸자.
이제 정확한 문제로 돌아가기
가로 p, 세로 q인 직사각형을, 넓이가 같은 정사각형(변 √(pq))으로 자르고 옮겨 바꿔라. (예: 9 × 4 → 6 × 6)
왜 이렇게 푸는가
직사각형과 정사각형을 왼쪽 아래 모서리를 맞춰 겹쳐 본다.
둘이 겹치는 부분은 그대로 둔다. 직사각형이 정사각형보다 옆으로 튀어나온 부분과, 정사각형이 위로 더 높은 빈 부분은 넓이가 같다(전체 넓이가 같으니까). 그러니 튀어나온 조각을 잘라 위 빈 곳으로 올려 채우면 된다.
9 × 4 직사각형이라면 정사각형은 6 × 6(√(9×4)=6). 오른쪽으로 튀어나온 3 × 4 조각을 가로로 한 번 더 잘라 3 × 2 두 조각으로 만들고, 위 빈 6 × 2 자리에 나란히 올리면 — 정사각형 완성. 자르고 옮기는 동안 넓이는 한 톨도 변하지 않으니, 정사각형의 변은 정확히 √(pq).
왜 맞는가
직사각형과 정사각형을 겹쳐, 옆으로 튀어나온 조각을 잘라 위 빈 곳으로 옮기면 정사각형이 된다. 자르고 옮겨도 넓이가 보존되므로 정사각형의 변은 √(pq).
직접 시도해보기
튀어나온 조각의 넓이(3×4=12)와 위 빈 곳(6×2=12)이 같음을 확인해 보라 — 전체 넓이가 같으니 당연하다. 그래서 딱 맞아 들어간다.
관련된 수학
원론 2권 명제 14 — 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 작도. 직사각형의 구적(quadrature) 그 자체.
출입상보(出入相補) — 튀어나온 부분을 잘라 빈 곳을 채워 모양만 바꾸고 넓이는 보존.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.