세 중선이 만드는 6등분 — 모두 넓이가 같다
삼각형의 세 중선을 그으면 작은 삼각형 6개로 갈린다. 모양은 제각각인데 — 넓이는 여섯 개 모두 똑같다. 왜?
식을 세우지 말고 도형을 먼저 흔들어 보세요.
반전을 천천히 재생하기
손으로 발견한 규칙이 우연이 아닌지, 같은 조각을 단계별로 움직여 증명합니다.
삼각형. 각 변의 중점과 마주 보는 꼭짓점을 잇는 중선 셋을 긋는다.
이제 정확한 문제로 돌아가기
삼각형의 세 중선이 만드는 6개의 작은 삼각형의 넓이를 비교하라.
왜 이렇게 푸는가
중선은 한 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 잇는 선이다. 세 중선은 한 점 — 무게중심 G — 에서 만난다.
핵심 사실 하나: 중선은 삼각형을 넓이가 같은 둘로 가른다 (밑변을 정확히 반으로 나누고 높이가 같으니까). 그래서 중선 하나가 큰 삼각형을 ½씩 가르고, 그 안에서 또 다른 중선이 각각을 다시 반으로 가른다.
이렇게 세 중선이 차례로 절반씩 가르면, 결국 6개의 작은 삼각형이 생기고 모두 정확히 같은 넓이(전체의 ⅙)가 된다. 무게중심이 도형의 균형점인 것도 같은 이유 — 사방의 넓이가 평형을 이룬다.
왜 맞는가
중선은 밑변을 반으로 나누고 높이를 공유하므로 삼각형을 넓이가 같은 둘로 가른다. 세 중선이 차례로 반분하면 6개의 작은 삼각형이 모두 전체의 ⅙로 같아진다. 그래서 무게중심 G는 균형점이다.
직접 시도해보기
한 중선만 그어 보라 — 큰 삼각형이 정확히 반으로 갈린다(밑변이 반, 높이는 공유). 이 “반 가르기”가 세 번 겹쳐 6등분이 된다.
관련된 수학
세 중선이 만나는 무게중심 — 아르키메데스가 지렛대(균형)의 원리로 도형·물체의 중심을 찾은 바로 그 점.
중선이 넓이를 반으로 가른다는 성질은 원론 1권의 삼각형 넓이론(밑변·높이)에서 곧장 나온다.
MathVoyage 너머로
큐레이터가 고른 원전과 탐구 과제. OEIS·Project Euler·MathOverflow·arXiv에서는 발견 하나를 수첩으로 가져올 수 있습니다.
- 위키백과
- Wolfram MathWorld