삼각형을 잘라 직사각형으로 — ½ 밑변 × 높이
삼각형 넓이가 왜 ½ 밑변 × 높이일까? 중점선으로 한 번 자르고 위 조각을 돌려 끼우면 깔끔한 직사각형 — 공식이 눈앞에 보인다.
문제
임의의 삼각형을 자르고 돌리기만으로 직사각형으로 바꿔, 그 넓이가 ½ × 밑변 × 높이임을 보여라.
자르고 · 돌려 · 끼워맞추기
재생을 누르거나 다음으로 한 단계씩 — 조각이 어떻게 움직여 답이 한눈에 보이는지 따라가 보세요. (좌우 화살표 키 · 스페이스로도 조작)
임의의 삼각형(밑변 b, 높이 h). 두 변의 중점을 잇는 중점선으로 자른다.
왜 이렇게 푸는가
높이의 절반에서 가로로 한 번 긋는다 — 두 변의 중점을 잇는 중점선이다.
중점선 위로 작은 삼각형이, 아래로 사다리꼴이 남는다. 위 삼각형을 가운데에서 세로로 반 가른 뒤, 각 반쪽을 중점을 축으로 180° 회전시키면, 사다리꼴의 비스듬한 양 옆구리에 정확히 들어맞아 수직 벽을 세운다.
완성된 직사각형은 밑변은 그대로 b, 높이는 h의 절반이다. 자르고 돌리는 동안 넓이는 보존되니, 삼각형 넓이 = b × (h/2) = ½ b h. 모양이 어떻든 — 예각이든 둔각이든 — 같은 한 번의 자르기로 끝난다.
왜 맞는가
중점선으로 자른 위 삼각형의 두 반쪽을 180° 돌리면 사다리꼴의 옆구리를 채워 밑변 b, 높이 h/2인 직사각형이 된다. 넓이 보존이므로 삼각형 = ½ b h.
직접 시도해보기
삼각형을 둔각으로 찌그러뜨려 상상해 보라. 위 조각의 두 반쪽 모양은 변해도, 180° 돌려 끼우면 언제나 밑변 × (높이/2) 직사각형이 된다.
관련된 수학
삼각형 넓이 = ½·밑변·높이 — 원론 1권의 기본 정리. 자르고 돌려 직사각형으로 만들면 그 공식이 눈에 보인다.
출입상보(出入相補) — 잘라낸 조각을 빈 옆구리에 끼워 넓이를 보존하는 분해의 정신.
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