마이클 아티야
Michael Atiyah
생애
미분방정식에서 세는 수와 공간의 위상에서 세는 수가 같다는 다리를 놓은 수학자. 아티야는 이저도어 싱어와 함께 타원형 미분연산자의 해석적 지표와 위상적 지표를 연결하는 정리를 발전시켰다. 여기서 지표는 해 공간의 차원 하나가 아니라 커널과 코커널 차원의 차이다. 이 정리는 리만–로흐와 가우스–보네 계열의 여러 결과를 한 틀에 넣으며 1966년 필즈상 공적의 중심이 되었다. 아티야와 히르체브루흐는 위상 K-이론을 발전시켰고, 그 주기성은 보트의 정리에 기대며 복소 K-이론은 2주기, 실수 K-이론은 8주기다. 그는 1963~1969년 옥스퍼드 새빌리언 기하학 교수였고 이후에도 옥스퍼드·IAS·케임브리지 등에서 연구와 학술 조직을 이끌었다. 게이지 이론과 기하의 연결에 대한 그의 작업은 4차원 위상수학의 중요한 배경이 됐지만, 도널드슨–토머스·자이베르크–위튼 이론을 아티야와 위튼의 한 협업에서 직접 낳았다고 단순화할 수는 없다.
결정적 순간
Atiyah-Singer 지표 정리 — 해석학과 위상수학을 한 등식으로
옥스퍼드타원형 미분연산자의 해석적 지표 = 위상적 지표. 해석적 지표는 커널과 코커널 차원의 차이이며, 공간과 연산자의 위상 자료로 계산할 수 있다. 리만–로흐·가우스–보네 계열의 여러 정리를 포괄한다.
Fields Medal — 37세
옥스퍼드K-이론과 지표 정리를 비롯해 위상수학과 해석학을 연결한 업적으로 모스크바 ICM에서 필즈상을 받았다.
4차원 자기쌍대성과 게이지 기하
옥스퍼드히친·싱어와 함께 4차원 리만 기하의 자기쌍대성을 연구했고, 인스턴톤과 모듈라이 공간을 둘러싼 수학이 이후 게이지 이론과 4차원 위상수학의 중요한 배경이 됐다.
이 사람이 없었다면
아래 내용은 확인된 역사적 사실이 아니라, 이 인물의 영향을 생각해 보는 가정입니다.
초보자는 도넛의 구멍처럼 변형해도 남는 양을 찾는다. 중급에서는 선형사상의 커널과 코커널 차원을 계산한다. 고급에서는 드람 복합체나 리만–로흐를 지표의 예로 보고, 전문 단계에서는 K-이론의 위상적 지표와 타원연산자의 해석적 지표가 같아지는 증명 전략과 게이지 이론의 확장을 공부한다.
