난제 작업실

하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전지금 여기생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
Week 19 · 고전미해결
1차 출처

안드리카 추측 — 소수 간격은 얼마나 좁아질 수 있나

규칙은 간단함 · 문제는 미해결· 제기 1986

문제

모든 n≥1n \ge 1에 대해

pn+1−pn<1\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1

이 성립하는가? (pnp_n = nn번째 소수)

Dorin Andrica, 1986.

왜 흥미로운가

동치: pn+1−pn<2pn+1p_{n+1} - p_n < 2\sqrt{p_n} + 1. 즉 *소수 간격은 pn\sqrt{p_n} 정도로 좁다. PNT*가 평균 간격 ln⁡pn\ln p_n을 알려주지만 *pn\sqrt{p_n}이 무한히 큰 함수라 직관적으로 충분히 여유가 있어 보임. 그러나 최악 케이스는 7-11(간격 4 = 7\sqrt{7} 미만) / 23-29보다 더 극단적일 수 있어 진짜 증명은 어렵다*.

현재까지의 진척

Imran Ghory 2010 — *p≤1.32×1016p \le 1.32 \times 10^{16}까지 컴퓨터 검증, 위반 사례 없음. 최댓값은 n=4n = 4* 즉 11−7≈0.6709\sqrt{11} - \sqrt{7} \approx 0.6709. Riemann 가설을 가정해도 직접 따라오지 않음 — 더 강한 Cramér 추측 (pn+1−pn=O((ln⁡pn)2)p_{n+1} - p_n = O((\ln p_n)^2)) 또는 Oppermann 추측이 필요.

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💡 한 줄부터 함께 탐구하기(0건)

참여를 인기 순으로 등급화하지 않습니다. 큐레이터는 무엇이 명료하고 재현 가능한지 말하고, 동료 신호는 누군가 이해했거나 직접 따라 해봤다는 뜻입니다.

무엇을 발견했나요?

완전한 풀이가 아니어도 좋습니다. 작은 관찰 하나가 다음 탐구의 길을 엽니다.

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연결된 개념

  • 소수

    연속 소수의 간격 조절 — pn+1−pn<2pn+1p_{n+1} - p_n < 2\sqrt{p_n}+1 동치

  • 소수 정리

    PNT의 평균 간격 ln⁡p\ln p 보다 더 강한 최악 간격 주장 (Cramér·Oppermann 추측 필요)