난제 작업실

양의 정수 n에 대해 다음을 반복한다: ⟨…⟩ *임의의* 시작 n에서 출발해도 결국 1에 도달하는가?

p와 p+2가 *모두 소수*인 쌍 (p, p+2)가 *무한히 많이* 존재하는가? 예: (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43), (59, 61), \ldots

2보다 큰 *모든* 짝수 n이 *두 소수의 합*으로 표현되는가? 예: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 10 = 3+7 = 5+5, 100 = 3+97 = 11+89 = \cdots (6가지).

*완전수(perfect number)*: 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 수. 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496, 8128, \ldots 알려진 모든 완전수는 *짝수*다. *홀수* 완전수는 존재하는가?

A^x + B^y = C^z가 양의 정수 해를 가지고 x, y, z > 2라면, A, B, C는 *공통 소인수*를 가진다. 예: 3^3 + 6^3 = 3^5 (A=B=C는 3 공유). 페르마의 마지막 정리(x=y=z)의 일반화.

모든 정수 n \ge 2에 대해, 4/n을 *세 단위분수의 합*으로 쓸 수 있는가? ⟨…⟩ 예: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20.

k+1명의 주자가 *원형 트랙* (둘레 1)의 같은 지점에서 동시에 출발한다. 각자 *서로 다른 일정한 속도*. 모든 주자에 대해, 그 주자가 *다른 모든 주자로부터 거리 \ge 1/(k+1)* 떨어지는 시점이 존재하는가?

파스칼 삼각형에서 정수 N > 1이 등장하는 횟수는 *어떤 절대 상수 K*로 유계인가? 예: 1을 제외한 *대부분의 수*는 정확히 2번 등장 (N행의 C(N,1)=N). 120은 6번, 3003은 *8번* — 알려진 *최대*.

*아리쿼트 수열*: 양의 정수 n에서 시작, s(n) = (자신을 제외한 약수의 합)을 반복. 0으로 끝나거나(소수 도달), 완전수/친화수/사회수 사이클에 빠지거나, *무한히 발산*할 수 있다. n = 276에서 시작한 수열은 결국 종결되는가, 무한히…

a(0)=0에서 시작합니다. n번째 단계에서는 바로 앞 수에서 n을 빼 봅니다. 뺀 값이 0 이상이고 앞서 나온 적이 없으면 그 값을 쓰고, 그렇지 않으면 n을 더합니다. **규칙 한 줄:** 뺄 수 있고 처음 나오는 값이면 빼고, 아니면 더합니다. …

다음 방정식의 자연수 해 (m, k)를 모두 구하라: ⟨…⟩ 알려진 유일한 해: m = 3, k = 1 (1 + 2 = 3). *다른 해가 존재하는가?* Erdős: 없을 것이다.

n! + 1 = m^2를 만족하는 양의 정수 쌍 (n, m)을 모두 구하라. 알려진 해 3개: - 4! + 1 = 25 = 5^2 - 5! + 1 = 121 = 11^2 - 7! + 1 = 5041 = 71^2 *다른 해가 존재하는가?* 추측: 없다 …

*9개의 서로 다른 양의 완전제곱수*만으로 *3×3 마방진*(모든 행·열·대각의 합이 같음)을 만들 수 있는가? 가장 가까운 시도(Andrew Bremner 1996)는 *8개 합 중 7개만 일치* — 마지막 한 줄이 풀리지 않는다.

평면 위의 *연속인 단순 닫힌 곡선* C가 주어졌을 때, *네 꼭짓점이 모두 C 위에 있는 정사각형*이 항상 존재하는가? *Otto Toeplitz, 1911*. 약 *115년* 미해결 (부분적 결과 다수).

평면 \mathbb{R}^2의 각 점에 *색*을 부여하되, *거리가 정확히 1인 두 점은 다른 색*이 되도록 한다. 이를 만족하는 *최소 색 수* \chi(\mathbb{R}^2)는 얼마인가? *Edward Nelson, 1950*. 약 *75년 미해…

*유한 집합족* \mathcal{F}가 *결합 폐쇄*(임의의 A, B \in \mathcal{F}에 대해 A \cup B \in \mathcal{F})이고 \mathcal{F} \ne \{\emptyset\}이면, *적어도 |\mathcal{F}|/2…

*정수 계수* 다항식 P(x) = a_n \prod (x - \alpha_i)의 *말러 측도*를 M(P) = |a_n| \prod \max(1, |\alpha_i|)로 정의한다. *Kronecker 정리*에 의해 M(P) = 1인 경우는 *원분 다항식…

평면 위에 *일반 위치*(어느 셋도 일직선상에 있지 않음)에 놓인 *충분히 많은 점* 중 *항상 n개를 골라 볼록 n각형*을 만들 수 있는 *최소 점 개수* ES(n)은? 예: ES(3) = 3 (당연), ES(4) = 5 (Esther Klein 1…

*모든* n \ge 1에 대해 ⟨…⟩ 이 성립하는가? (p_n = n번째 소수) *Dorin Andrica, 1986*.

*직육면체*의 *세 변* a, b, c, *세 면대각* \sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+c^2}, \sqrt{b^2+c^2}, *공간대각* \sqrt{a^2+b^2+c^2} — *7개 길이가 모두 정수*인 직육면체가 존재하는가?

d차원 *유계 볼록 다포체*가 *n개 면(facet)*을 가질 때, *그래프 지름*(한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점까지의 최단 모서리 경로 길이)이 *n, d의 다항식*으로 유계인가? *Klee–Walkup 1967*. 강한 형태 *\le n - d* (H…

평면 위의 *n개 점*이 *서로 결정하는 거리의 가짓수*의 *최솟값* g(n)은? *Erdős 1946*: g(n) = \Omega(n / \sqrt{\log n}) 추측. *2010년 Guth–Katz*에서 *g(n) = \Omega(n / \log…

\mathbb{R}^n의 *Kakeya 집합* — *모든 방향*에 길이 1 단위선분을 포함하는 집합 — 의 *Minkowski 또는 Hausdorff 차원*이 항상 *n*인가? *Besicovitch 1928*: 측도 0인 Kakeya 집합 존재 (L…

x_1, x_2, \ldots \in \{+1, -1\}인 임의의 수열에 대해, *부분합* ⟨…⟩ 이 *모든 n, d \ge 1에서 어떤 상수 C로 유계*가 되도록 *수열을 선택할 수 있는가*? *Erdős 1932*: 불가능하다고 추측 (\sup |…

평면 위의 *n개 점*이 만드는 *서로 거리가 정확히 1인 점쌍의 개수의 최댓값* u(n)은? *Erdős 1946*: 격자 분석으로 u(n) \ge n^{1 + c/\log\log n} 하한을 보이고, *상한도 같은 형태*일 것이라 추측. 80년간 …