홀수 완전수 — 388년 동안 단 하나도 찾지 못한 수

기원전 300년경 유클리드는 특정한 메르센 소수에서 짝수 완전수를 만드는 방법을 《원론》에 남겼다. 수천 년 동안 발견된 완전수는 모두 짝수였다. 그러나 그것이 홀수 완전수의 부재를 뜻하지는 않는다. 르네 데카르트는 1638년 메르센에게 보낸 편지에서 홀수 완전수가 존재하지 않을 이유를 찾지 못했다고 썼다. 이때부터 “하나를 찾거나, 하나도 없음을 증명하라”는 질문이 분명해졌다.

탐색할수록 후보는 사라지는 대신 더 괴상해졌다. 오일러는 존재한다면 $N=p^{4k+1}m²$ 꼴이어야 한다는 뼈대를 밝혔다. 출판된 현대 결과에 따르면 그 수는 $10^{1500}$보다 크고, 중복을 세어 적어도 101개의 소인수를 가져야 한다. 서로 다른 소인수도 적어도 10개가 필요하다. 이렇게 거대한 괴물이 정말 어딘가 있는지, 아니면 모든 조건이 끝내 모순을 만드는지는 모른다.

완전수의 매력은 직접 손으로 판정할 수 있다는 것이다. 작은 수의 약수를 더하는 놀이는 곧 탐색 알고리즘이 되고, 짝수 완전수의 규칙을 발견하면 “왜 홀수에서는 실패하는가?”라는 구조의 질문으로 자란다. 가장 오래된 수 놀이가 여전히 열린 연구 입구다.