난제 이야기
2300년 전 유클리드의 수 세계부터 오늘의 미해결 문제까지 — 난제가 태어난 때, 버틴 시간, 첫 실험을 따라갑니다. 증명을 몰라도 그림·색칠·약수·계산으로 첫 추측을 만들 수 있고, 직접 시도는 열린 문제 클럽으로 이어집니다.
하나의 난제, 세 번의 몰입
이야기에서 내 추측까지
난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.
어떤 방식으로 첫 난제를 만나고 싶나요?
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에르되시 #1196 — AI의 제안이 공동 증명으로 자란 과정
큰 수들로만 이루어진 원시 집합의 에르되시 합은 얼마나 클 수 있을까? 2026년 GPT-5.4 Pro 출력에서 제안된 방법을 여덟 저자가 검토·확장해 1960년대의 추측을 증명했다.
콜라츠 추측 (3n+1) — 규칙은 한 줄, 증명은 아직
아무 자연수에서 시작 — 짝수면 ÷2, 홀수면 ×3+1. 모든 수가 결국 1에 도달하는가? 1937년 이후 아무도 답하지 못함. 에르되시: "수학은 아직 이런 문제를 풀 준비가 안 됐다."
리만 가설 — 6쪽 원고가 남긴 끝나지 않은 질문
제타 함수의 모든 비자명 영점은 실수부가 1/2일까? 리만은 1859년 6쪽 원고에서 몇 차례 시도했지만 엄밀한 증명을 찾지 못해 이 문제를 미뤘다고 적었다. 짧은 문장이 소수의 불규칙성을 재는 거대한 연구 프로그램이 되었다.
P vs NP — 빠른 검증과 빠른 탐색은 같은가?
후보 답을 다항 시간에 검증할 수 있는 결정 문제는 답도 다항 시간에 찾을 수 있을까? 스도쿠·경로·일정 문제에서 쉽게 만나는 차이가 계산 복잡도의 핵심 질문이 된다.
쌍둥이 소수 추측 — 무한히 바짝 붙은 소수 쌍이 있는가?
(3,5), (11,13), (17,19), … — 이런 p, p+2가 둘 다 소수인 쌍이 영원히 계속되는가? 1846년 폴리냐크의 더 일반적인 추측에 포함됐고, 2013년 장이탕이 “간격 2”는 아니지만 유한한 상한이 존재함을 처음 증명했다.
골드바흐 추측 — 짝수는 언제나 두 소수의 합인가?
4 = 2+2, 6 = 3+3, 100 = 3+97. 1742년 골드바흐와 오일러의 서신에서 오늘의 형태가 정리된 뒤, 거대한 계산 검증과 약한 골드바흐 정리의 해결에도 강한 추측은 남아 있다.
페르마의 마지막 정리 — 358년의 여백
"놀라운 증명이 있지만 여백이 좁다." 페르마의 메모는 사후 출판되었고 그 증명은 발견되지 않았다. 와일스는 1993년 발표 뒤 드러난 틈을 Richard Taylor와 고쳐 1994년 완성했고, 1995년 두 논문으로 출판했다.
푸앵카레 추측 — 고리 하나로 3차원 공간을 알아볼 수 있을까?
닫힌 3차원 공간에서 모든 고리를 한 점으로 줄일 수 있다면, 그 공간은 3-구일까? 푸앵카레의 질문은 해밀턴의 리치 흐름과 페렐만의 세 프리프린트, 여러 팀의 검증을 거쳐 한 세기 만에 풀렸다.
소파 움직이기 문제 — 길마 모양의 최적성 증명은 검토 중
폭이 1인 L자 복도를 돌 수 있는 가장 넓은 평면 도형은? 백진언은 2024년 길마 모양이 최적이라는 119쪽 프리프린트를 공개했다. 유력한 완전 증명이지만 동료 검토가 끝난 정리처럼 단정하지 않는다.
연속체 가설 — ZFC에서 독립임이 증명된 문제
"자연수의 무한과 실수의 무한 사이에 다른 무한이 있는가?" 칸토어가 1878년에 추측. 괴델(1940)의 CH 방향과 코언(1963)의 ¬CH 방향 결과를 합쳐 표준 ZFC 공리계가 어느 쪽도 결정하지 못함을 밝혔다.
나비에-스토크스 방정식 — 물의 흐름에 매끄러운 답이 있는가?
"우리는 비행기 날개를 설계할 때 이 방정식을 매일 쓴다 — 그러나 그 해가 항상 매끄럽게 존재하는지조차 모른다." 1822년 식, 200년 미해결.
BSD 추측 — 타원곡선의 정수해는 어떻게 분포하는가
"타원곡선 위의 유리수 점은 유한히 많은가, 무한히 많은가? 그것을 L-함수가 알려준다." 1965년 추측, 60년 미해결.
내접 정사각형 — 아무 고리나 그려도 정사각형이 숨어 있을까?
1911년부터 115년째. 종이에 찌그러진 고리 하나만 그리면 출발할 수 있다. 그 선 위의 네 점만으로 정확한 정사각형을 언제나 만들 수 있을까?
하드비거–넬슨 — 평면 전체를 몇 색으로 지킬 수 있을까?
1950년부터 76년째. 거리가 정확히 1인 두 점만 같은 색이 아니면 된다. 답은 아직도 5, 6, 7 중 하나다.
홀수 완전수 — 388년 동안 단 하나도 찾지 못한 수
, . 자기 약수의 합으로 완성되는 수는 아름답다. 그런데 홀수 완전수는 존재할까? 1638년부터 답이 없다.
완전 직육면체 — 일곱 길이가 모두 정수인 상자는 있을까?
세 변, 세 면대각선, 한 공간대각선. 일곱 길이를 모두 정수로 만들면 된다. 1894년 공개 문제 이후 132년째, 상자 하나를 못 찾았다.