완전 직육면체 — 일곱 길이가 모두 정수인 상자는 있을까?

피타고라스 정리는 직사각형 한 면을 정수로 맞추는 법을 알려준다. 문제는 그것을 세 면에서 동시에 성공시키고 상자 내부의 긴 대각선까지 정수로 만드는 일이다. 1719년 파울 할케는 변 $(44,117,240)$과 면대각선 $(125,244,267)$을 가진 가장 작은 오일러 벽돌을 기록했다. 여섯 길이는 완벽했지만 공간대각선 하나가 정수가 아니었다.

1894년 아르테마스 마틴이 이 마지막 한 칸까지 채울 수 있는지를 공개 문제로 제기했다. 이후 사람들은 공식을 만들고 컴퓨터로 거대한 범위를 훑었다. 현대 검색은 만약 해가 있다면 홀수 변이 $2.5×10^{13}$보다 크고 가장 작은 변도 $5×10^{11}$보다 커야 한다는 수준까지 밀어냈다. 하지만 큰 범위에 없다는 사실은 영원히 없다는 증명이 아니다.

이 난제는 실패도 수집할 가치가 있다. 두 면은 정수인데 세 번째가 아깝게 빗나가는 상자, 여섯 길이는 정수인데 공간대각선만 빗나가는 오일러 벽돌을 비교하면 조건들이 서로 어떻게 충돌하는지 보인다. 완벽한 한 상자를 찾는 탐색과, 그런 상자는 불가능하다는 증명이 같은 출발선에서 경쟁한다.