완전 직육면체 — 모든 변·면대각·공간대각이 정수인가

직육면체의 세 변 $a, b, c$, 세 면대각 $\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+c^2}, \sqrt{b^2+c^2}$, 공간대각 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — 7개 길이가 모두 정수인 직육면체가 존재하는가?

1719년 Paul Halcke가 최소 Euler brick $(44,117,240)$을 기록했다. 세 변과 세 면대각 6개는 정수지만 공간대각은 아니다. 1894년 Artemas Martin이 마지막 공간대각까지 정수로 만들 수 있는지를 공개 문제로 제기했다. 네 개의 Diophantine 제약을 동시에 만족하는 상자는 아직 하나도 없다.

Matson의 컴퓨터 검색은 해가 있다면 *홀수 변 $> 2.5 \times 10^{13}$, 가장 작은 변 $> 5 \times 10^{11}$*이어야 함을 보였다. 거대한 범위의 음성 결과와 여러 대수적 필요조건이 있지만, 해 하나도 비존재 증명도 없다.