하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

해결됨1965년 → 2026년

에르되시 #1196 — AI의 제안이 공동 증명으로 자란 과정

큰 수들로만 이루어진 원시 집합의 에르되시 합은 얼마나 클 수 있을까? 2026년 GPT-5.4 Pro 출력에서 제안된 방법을 여덟 저자가 검토·확장해 1960년대의 추측을 증명했다.

도전 여권

처음 세상에 나온 때

1965년

수학자들을 붙잡은 시간

해결까지 61년

시작 난이도

심화

몇 가지 배경 개념을 연결해야 문제의 진짜 벽이 보이기 시작해요.

시작 난이도는 문제를 이해하고 작은 사례를 탐험하는 기준입니다. 완전한 증명의 난이도와는 다릅니다.

5분 첫 시도로 내려가기

해결:

Alexeev·Barreto·Li·Lichtman·Price·Shah·Tang·Tao (GPT-5.4 Pro 출력에서 제안된 방법)

공식 문제 기록과 2026년 공동 프리프린트에 해결 과정이 공개되어 있다.

이 난제, 그림으로

큰 수의 원시 집합

A ⊂ [x,∞)

a ∤ b, b ∤ a

에르되시 합의 상한

f(A) = Σ 1/(a log a)

sup f(A) ≤ 1 + O(1/log x)

x가 커질 때

x → ∞ : 1

점근적 상한

에르되시 #1196은 한 집합의 합이 1로 수렴한다는 말이 아니다. 모든 원소가 x 이상인 원시 집합들 가운데 가능한 합의 상한이 x→∞에서 1로 다가간다는 정리다.

문제의 진술

원시 집합은 서로 다른 두 원소 중 어느 것도 다른 하나를 나누지 않는 자연수 집합이다. $A⊂[x,∞)$ 인 모든 원시 집합에 대해 $f(A)=∑_{a∈A}1/(a,log a)$ 의 가능한 최댓값이 $x→∞$ 일 때 $1+o(1)$ 인가? 이것이 에르되시·사르쾨지·세메레디의 #1196 질문이다.

이 난제의 이야기

1930년대 에르되시는 원시 집합의 합 $f(A)$ 가 항상 어떤 공통 상한 아래 있음을 보였다. #1196은 전혀 다른 질문이다. 집합의 모든 원소를 $x$ 이상으로 밀어냈을 때 가능한 합의 상한이 점점 1로 가까워지는지를 묻는다. 소수 전체의 합이 1이라는 뜻도, 집합의 원소 수만 늘리면 합이 1이 된다는 뜻도 아니다.

2026년 5월 공개된 Primitive sets and von Mangoldt chains는 GPT-5.4 Pro 출력에서 제안된 아이디어를 출발점으로 명시한다. 핵심은 약수 관계를 따라 움직이는 마르코프 연쇄에 폰 망골트 가중을 붙이는 것이다. 원시 집합은 하나의 나눗셈 사슬과 많아야 한 번 만나므로, 확률 질량을 세어 $f(A)≤1+O(1/log x)$ 라는 상한을 얻는다.

하지만 “AI가 한 번 답해 곧바로 증명이 끝났다”는 이야기도 정확하지 않다. Boris Alexeev, Kevin Barreto, Yanyang Li, Jared Duker Lichtman, Liam Price, Jibran Iqbal Shah, Quanyu Tang, Terence Tao가 방법을 정리·확장해 35쪽 프리프린트와 여러 후속 결과로 만들었다. 이 사례의 재미는 인간 대 AI 대결이 아니라, 낯선 연결을 제안하는 단계와 검증 가능한 수학으로 바꾸는 단계가 어떻게 맞물리는지에 있다.

직접 시도해보기

미니 챌린지

먼저 원시성을 눈으로 확인하자. $A={6,10,15}$ 에서는 어느 수도 다른 수를 나누지 않지만, 30을 넣으면 6·10·15가 모두 30을 나누므로 원시성이 깨진다. 이제 1에서 시작해 매번 현재 수의 배수로 이동하는 나눗셈 사슬을 몇 개 그려 보라. 왜 한 사슬이 원시 집합의 원소를 두 번 지날 수 없는가? 이 한 문장의 증명이 2026년 확률적 방법의 직관적 핵심이다.

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