홀수 완전수 — 존재하는가, 아닌가

완전수(perfect number): 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 수. $6 = 1+2+3$, $28 = 1+2+4+7+14$, $496$, $8128$, $\ldots$

알려진 모든 완전수는 짝수다. 홀수 완전수는 존재하는가?

기원전 300년경 유클리드는 메르센 소수에서 짝수 완전수를 만드는 방법을 남겼고, Euler는 모든 짝수 완전수가 그 꼴임을 증명했다. 홀수의 존재 가능성을 명시적으로 꺼낸 기록은 1638년 Descartes가 Mersenne에게 보낸 편지다. 그 뒤 388년 동안 단 하나도 발견되지 않았지만, 존재하지 않는다는 증명도 없다.

$10^{1500}$ 이하에는 홀수 완전수가 없음 (Ochem–Rao 2012). 만약 존재한다면 *중복을 포함한 소인수 개수 $\ge 101$, 서로 다른 소인수 $\ge 9$, 최대 소인수 $> 10^8$*이어야 한다. 조건은 극단적으로 빡빡하지만 아직 모순까지 밀어붙이지 못했다.