하나의 난제, 세 번의 몰입
이야기에서 내 추측까지
난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.
문제
평면 위의 연속인 단순 닫힌 곡선 가 주어졌을 때, *네 꼭짓점이 모두 위에 있는 정사각형*이 항상 존재하는가?
Otto Toeplitz, 1911. 약 115년 미해결 (부분적 결과 다수).
왜 흥미로운가
직관: 원·삼각형·다각형 모두 명백히 OK. 비등각 곡선은? 동전 외곽선·신체 윤곽·해안선처럼 프랙탈에 가까운 거친 곡선에도 정사각형이 항상 숨어 있을까? Hassler Whitney·Stromquist·Schnirelmann이 1910-1980년대 매끄러운 경우를 푼 뒤 100년이 지나도록 완전 일반 케이스는 미해결. 정사각형은 4점에 동시 제약이 걸려 위상학적 obstruction이 등장 — 조르당 곡선 정리만으로는 부족.
현재까지의 진척
Stromquist 1989 — 충분히 매끄러운 곡선에 대해 정사각형 존재 증명. Greene·Lobb 2020 (Annals of Math) — 매끄러운 Jordan 곡선에 대해 모든 종횡비의 직사각형이 내접한다는 더 강한 결과로 80년 묶음 해결. 그러나 연속성만 가정한 일반 곡선은 여전히 미해결. Tao 2017 블로그에서 "the most natural-sounding open problem in elementary geometry".
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연결된 개념
- 위상수학
4점에 동시 정사각형 제약 → 위상학적 obstruction 등장. 조르당 곡선 정리만으론 부족
연결된 수학자
2017 블로그에서 "the most natural-sounding open problem in elementary geometry"라 평
