난제 작업실

하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전지금 여기생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
Week 12 · 고전미해결
1차 출처

브로카르 문제 — n!+1이 완전제곱수가 될 때

중급· 제기 1876A085692

문제

n!+1=m2n! + 1 = m^2를 만족하는 양의 정수 쌍 (n,m)(n, m)을 모두 구하라.

알려진 해 3개:

- 4!+1=25=524! + 1 = 25 = 5^2 - 5!+1=121=1125! + 1 = 121 = 11^2 - 7!+1=5041=7127! + 1 = 5041 = 71^2

다른 해가 존재하는가? 추측: 없다 (이들을 Brown 수라 부른다).

왜 흥미로운가

Henri Brocard 1876 제기, Ramanujan이 1913년 독립적으로 다시 제기. 직관: n!n!이 너무 많은 작은 소인수를 포함해 n!+1n! + 1이 완전제곱이 되는 약수 구조를 형성하기 어렵다. 반대로 *왜 정확히 n=4,5,7n = 4, 5, 7 세 군데에서 우연히* 맞는가는 깊은 수수께끼.

현재까지의 진척

n≤109n \le 10^9까지 다른 해 없음 (Berndt & Galway 2000, 이후 확장). abc 추측의 강한 형태가 참이라면 유한한 해만 존재 (Overholt 1993). 그러나 abc 추측 자체가 미해결 (Mochizuki 2012 제안 증명은 여전히 검증 중).

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참여를 인기 순으로 등급화하지 않습니다. 큐레이터는 무엇이 명료하고 재현 가능한지 말하고, 동료 신호는 누군가 이해했거나 직접 따라 해봤다는 뜻입니다.

무엇을 발견했나요?

완전한 풀이가 아니어도 좋습니다. 작은 관찰 하나가 다음 탐구의 길을 엽니다.

마크다운 + KaTeX 지원 (`$x^2$` 인라인, `$$\sum_{k=1}^n k$$` 디스플레이)
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연결된 개념

  • 소수

    n!n!이 너무 많은 작은 소인수를 포함해 n!+1n!+1이 완전제곱이 되기 어려움 — 소인수 구조가 핵심