브로카르 문제 — n!+1이 완전제곱수가 될 때

$n! + 1 = m^2$를 만족하는 양의 정수 쌍 $(n, m)$을 모두 구하라.

알려진 해 3개:

- $4! + 1 = 25 = 5^2$ - $5! + 1 = 121 = 11^2$ - $7! + 1 = 5041 = 71^2$

다른 해가 존재하는가? 추측: 없다 (이들을 Brown 수라 부른다).

Henri Brocard 1876 제기, Ramanujan이 1913년 독립적으로 다시 제기. 직관: $n!$이 너무 많은 작은 소인수를 포함해 $n! + 1$이 완전제곱이 되는 약수 구조를 형성하기 어렵다. 반대로 *왜 정확히 $n = 4, 5, 7$ 세 군데에서 우연히* 맞는가는 깊은 수수께끼.

Berndt–Galway의 2000년 계산은 $n<10^9$에서 다른 해가 없음을 확인했다. abc/Szpiro 추측의 적절한 형태를 가정하면 해가 유한하다는 조건부 결과가 있다(Overholt 1993). Mochizuki의 IUT 논문은 출판됐지만 abc의 증명으로 수학계 전반의 합의를 얻지 못했으므로, 여기서는 abc를 미해결 추측으로 취급한다.