레머의 말러 측도 문제 — 1보다 큰 가장 작은 값은

정수 계수 다항식 $P(x) = a_n \prod (x - \alpha_i)$의 말러 측도를 $M(P) = |a_n| \prod \max(1, |\alpha_i|)$로 정의한다. Kronecker 정리에 의해 $M(P) = 1$인 경우는 원분 다항식에 한정된다.

Lehmer 1933: *$M(P) > 1$인 모든 정수 다항식 중 $M(P)$의 최솟값은 무엇인가? — 어떤 양의 간격이 존재하는가?*

Lehmer 본인의 후보 (1933): $L(x) = x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1$, $M(L) \approx 1.17628$. 90년 동안 이보다 작은 값을 찾은 사람이 없다. 만약 gap이 없다면 (즉 $\inf = 1$), 정수 다항식 영점의 기하 구조에 부드러운 spectrum이 존재 — 수론·동역학·열역학과 깊은 연결.

Smyth 1971 — 비대칭 다항식 ($P(x) \ne \pm x^d P(1/x)$)은 $M(P) \ge \theta_0 \approx 1.3247$ (실수 Pisot 수 최소값) 증명. Borwein·Dobrowolski 1979 — $\log M(P) \ge c/(\log\log n)^3$ (n = degree)의 점근 하한. 데이터베이스 Mossinghoff가 $\le 1.4$인 모든 정수 다항식을 *degree $\le 80$까지 분류 — Lehmer의 후보를 능가하는 사례 없음. 또한 3D 쌍곡 부피의 최소값* 추측과 동치 (Gehring–Martin).