레머의 말러 측도 문제 — 1보다 큰 가장 작은 값은

정수 계수 다항식 $P(x) = a_n \prod (x - \alpha_i)$의 말러 측도를 $M(P) = |a_n| \prod \max(1, |\alpha_i|)$로 정의한다. Kronecker 정리에 따라 $M(P)=1$인 정수 다항식은 부호와 단항식 인자를 제외하면 원분 다항식들의 곱이다.

Lehmer 1933: $M(P)>1$인 경우가 1에서 일정한 양만큼 떨어져 있는가?

Lehmer 본인의 후보 (1933): $L(x) = x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1$, $M(L) \approx 1.17628$. 90년 동안 이보다 작은 값을 찾은 사람이 없다. 만약 gap이 없다면 (즉 $\inf = 1$), 정수 다항식 영점의 기하 구조에 부드러운 spectrum이 존재 — 수론·동역학·열역학과 깊은 연결.

Smyth 1971은 비상호 다항식에 대해 $M(P)\ge\theta_0\approx1.3247$을 보였다. Dobrowolski 1979는 차수 $d$가 커질 때 $\log M(P)\ge c\left(\dfrac{\log\log d}{\log d}\right)^3$ 꼴의 일반 하계를 증명했다. 이 하계는 1로 다가가므로 Lehmer가 요구한 차수와 무관한 양의 간격은 주지 못한다. 말러 측도는 산술적 쌍곡 다양체의 짧은 닫힌 측지선 등과 깊게 연결되지만, “3차원 최소 부피 추측과 동치”라고 단정할 수는 없다.