난제 작업실

하나의 난제, 세 번의 몰입

이야기에서 내 추측까지

난제 이야기는 호기심을 여는 입구이고, 난제 작업실은 그 호기심을 검증 가능한 생각으로 발전시키는 다음 장소입니다.

  1. 1 · 발견질문 만나기언제 태어나 왜 아직 사람을 붙잡는지 이야기로 이해합니다.
  2. 2 · 도전한 사례 시험하기그림·계산·색칠로 5분 안에 내 첫 관찰을 만듭니다.
  3. 3 · 발전지금 여기생각 이어 붙이기관찰을 공개하고 다른 시도와 비교해 추측·반례·부분 풀이로 키웁니다.
Week 11 · Erdős미해결
1차 출처

에르되시–모저 방정식 — 유일한 해는 1+2=3 뿐?

연구급· 제기 1953

문제

다음 방정식의 자연수 해 (m,k)(m, k)를 모두 구하라:

1k+2k+3k+⋯+(m−1)k=mk1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (m-1)^k = m^k

알려진 유일한 해: m=3,k=1m = 3, k = 1 (1+2=31 + 2 = 3).

다른 해가 존재하는가? Erdős: 없을 것이다.

왜 흥미로운가

Erdős 1953경 제기. 동기: 유한합 = 단일 거듭제곱이라는 완벽한 균형이 얼마나 드문가. k=1k=1은 사다리꼴 공식이라 연속해의 무한족이 있을 법한데, *실제론 m=3m=3 하나뿐*. k≥2k \ge 2는 어떤 해도 없으리라 예상되지만, 반례 후보의 거대함이 흥미로움.

현재까지의 진척

만약 다른 해 (m,k)(m, k)가 존재한다면 *m>10109m > 10^{10^9} (Gallot, Moree, Zudilin 2010). 이 거대한 하계는 Bernoulli 수의 약수성과 깊은 합동식에서 도출. 증명까지는 멀지만* "거의 없다"가 강하게 시사된다.

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연결된 개념

  • 소수

    거듭제곱합 1k+2k+⋯+mk=(m+1)k1^k + 2^k + \cdots + m^k = (m+1)^k의 소수론적 성질

연결된 수학자

  • 폴 에르되시(1913–1996)

    1953년 Erdős 본인이 제기 — m>10109m > 10^{10^9}여야 한다는 거대한 하한 (Gallot-Moree-Zudilin 2010)