쌍둥이 소수 추측 — 영원히 짝지어 나타나는가

$p$와 $p+2$가 모두 소수인 쌍 $(p, p+2)$가 무한히 많이 존재하는가?

예: $(3, 5)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$, $(41, 43)$, $(59, 61)$, $\ldots$

소수가 점점 드물어진다는 소수 정리가 있다 — 큰 $n$ 근처 소수 밀도 $\sim 1/\ln n$. 그러면 연속된 두 소수가 정확히 2 떨어진 쌍은 언젠가 사라져야 자연스럽다. 그런데 Brun 1919 — 쌍둥이 소수의 역수 합 $\sum 1/p + 1/(p+2)$이 수렴함을 증명 (Brun 상수 $\approx 1.902$). 수렴한다는 건 상대적으로 희소하다는 뜻 — 그러나 유한하다는 의미는 아니다.

Yitang Zhang (2013-04-17) — 거의 무명의 50대 강사가 *무한히 많은 소수 쌍의 간격이 $\le 70{,}000{,}000$임을 증명. 수학계 충격. 이후 Polymath8 + Maynard 2014*가 간격을 $\le 246$까지 좁힘. gap=2 (진짜 쌍둥이)까지의 거리는 아직 멀다. 일반화된 Elliott–Halberstam 가정 하에서는 $\le 6$.