싱마스터 추측 — 파스칼 삼각형에서 같은 수가 몇 번?

파스칼 삼각형에서 정수 $N > 1$이 등장하는 횟수는 *어떤 절대 상수 $K$*로 유계인가?

예: $1$을 제외한 대부분의 수는 정확히 2번 등장 ($N$행의 $C(N,1)=N$). $120$은 6번, $3003$은 8번 — 알려진 최대.

Singmaster 1971이 제기. 직관: 행 $n$의 항 수는 $n+1$이고, 큰 행에서 같은 수가 우연히 다시 나타날 확률은 기하급수적으로 떨어진다. 그러나 어떤 수가 8번 이상 나타날 수 있는가? 현재까지 8번이 한계. 잠재적으로 우연이 모이는 깊은 조합 구조 — 기약 분수 + 이항계수의 산술에서 발현.

최선의 상계: 등장 횟수 $\le O(\log N \cdot \log \log N / \log \log \log N)$ (Kane 2007). $N \le 2^{48}$까지 컴퓨터 검증 — *$N = 3003$ 외에 8번 등장하는 수는 발견되지 않음*. $3003 = C(14, 6) = C(15, 5) = C(78, 2) = C(3003, 1)$ 등 8회.